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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 25

Centroide de um semielipsoide sólido Considerando o

resultado de que o centroide de um hemisfério sólido está

no eixo de simetria a três oitavos da distância da base ao

topo, mostre, transformando as integrais apropriadas, que

o centro de massa de um semielipsoide sólido (x2/a2) +

(y2/b2) + (z2/c2) ≤ 1, z ≥ 0, está no eixo z a três oitavos

da distância da base ao topo. (Você pode fazer isso sem

calcular nenhuma integral.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício nos é dado a posição do centroide de um sólido hemisférico, então é pedido para mostrarmos, através da transformação em integrais apropriadas, que o centro de massa de um sólido semi-elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 ≤ 1 , z ≥ 0 , sobre o eixo z a três oitavos da base em direção ao topo.

Passo 2

O primeiro momento em relação ao plano de coordenadas xy para o semi-elipsoide x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 usando a transformação encontrada no exercício 23 desta seção é: M v y = ∭ D   z d z d y d x = ∭ G   c w J ( u , v , w ) ∣ d u d v d w M x y = a b c 2 ∭ G   w d u d v d w M x y = a b c 2 ⋅ a b c 2 π 4 Atenção! Note que a b c 2 π 4 é o valor do M x y para o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 Por outro lado temos que a massa do elipsoide é 2 a b c π 3 .

Resposta

Assim temos que como resposta: Z ‾ = a b c 2 π 4 3 2 a b c π = 3 8 C .

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