Assim como fizemos para provar as regras do produto e da potenciação para logaritmos, use o argumento da mesma derivada para provar a regra do quociente.
Passo 1
Desejamos mostrar a regra do quociente que nos diz o seguinte
a partir da utilização da derivada e do resultado do corolário do teorema do valor médio que nos que se em cada ponto de um intervalo aberto então existe uma constante tal que para qualquer .
Passo 2
Primeiramente observamos que sendo
Além disso, podemos tomar uma tal que . Dessa forma pelo corolário temos que
Como essa última equação vale para todos os valores positivos de , vale também para . Assim,
Lembrando que
Substituindo o valor encontrado em obteremos
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)