Assim como fizemos para provar as regras do produto e da potenciação para logaritmos, use o argumento da mesma derivada para provar a regra do quociente.

Passo 1

Desejamos mostrar a regra do quociente que nos diz o seguinte

ln ⁡ a b ⋅ x = ln ⁡ a x - ln ⁡ b

a partir da utilização da derivada e do resultado do corolário do teorema do valor médio que nos que se f ' ( x )   =   g ' ( x ) em cada ponto x de um intervalo aberto ( a ,   b ) , então existe uma constante C tal que f ( x )   =   g ( x )   +   C para qualquer x   ∈   ( a ,   b ) .

Passo 2

Primeiramente observamos que sendo

f x = ln ⁡ b x →   f ' x = 1 b x ⋅ - b x 2 = - b x 2 ⋅ x b =   - 1 x

Além disso, podemos tomar uma g x = - ln ⁡ x tal que f ' x = g ' ( x ) . Dessa forma pelo corolário temos que

ln ⁡ b x = - ln ⁡ x + C   ( i )

Como essa última equação vale para todos os valores positivos de x , vale também para x = 1 . Assim,

ln ⁡ b 1 = - ln ⁡ 1 + C

Lembrando que ln ⁡ 1 = 0

C = ln ⁡ b

Substituindo o valor encontrado em ( i ) obteremos

ln ⁡ b x = - ln ⁡ x + ln ⁡ b

∴ ln ⁡ b x = ln ⁡ b - ln ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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