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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 21

Mostre que função f x = x 4 + 3 x + 1 , tem exatamente uma raíz no intervalo [-2, - 1].

Passo 1

Haja vista que um polinômio de grau n pode apresentar n raízes reais queremos mostrar que no intervalo [-2,-1] a função   f x dada tem exatamente uma raiz.

Passo 2

Começaremos analisando o valor da função nas extremidades do intervalo. Assim, analisando para -2 :

        f - 2 = - 2 4 + 3 * - 2 + 1

f - 2 = 16 + 3 * - 2 + 1

f - 2 = 16 - 6 + 1

f - 2 = 1 1 Para o outro extremo:

f - 1 = - 1 4 + 3 * - 1 + 1

f - 1 = 1 + 3 * - 1 + 1

f - 1 = 1 - 3 + 1

f - 1 = - 1 Como f - 2 > 0   e f - 1 < 0 , o teorema do valor intermediário nos diz que o gráfico de f cruza o eixo x (uma raiz) em algum lugar no intervalo aberto (-2,-1).

Passo 3

Agora, derivaremos a nossa função f x para analisarmos se é possível aplicar o teorema de Rolle. Sendo f x = x 4 + 3 x + 1 ao derivar (utilizando as regras de derivação de polinômio) obtemos:

f ' x =   4 x 3 + 3

Graficamente temos:

Podemos perceber que no intervalo dado a nossa derivada nunca será 0. Observamos, então, que se houvessem pelo menos 2 pontos a e b para os quais f x = 0 , pelo teorema de Rolle nós deveríamos ter pelo menos um ponto c tal que f ' c = 0 no intervalo dado. Portanto, nesse intervalo f x apresenta exatamente uma raiz.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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