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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 8

Avalie a integral.

int (r^2)/(r + 4) d r

Passo 1

Para resolvermos a integral devemos torná-la um pouco mais simples do que a forma em que está. Devemos então, fazer com que apareça um termo r + 4 no numerador para que possamos simplificar a expressão. Mas, como fazer isso?! SIMPLES! CALMA!

Como nosso termo está elevado ao quadrado ( r^2 ) devemos somar e subtrair o termo que queremos de forma que ele seja um quadrado perfeito. Para a integral que vamos calcular, o nosso termo desejado será o 16 porque no denominador nosso termo que está “desquadratificado” (WTF?) é o 4. Assim:

int (r^2 - 16 + 16)/(r + 4) d r

Observamos que o termo r^2 - 16 é uma diferença de dois quadrados que resultará em ( r + 4 ) ( r - 4 ) :

int (( r + 4 ) ( r - 4 ) + 16)/(r + 4) d r

Pronto! Temos agora o termo que desejamos no numerador, vamos então separar as frações>

int (( r + 4 ) ( r - 4 ))/(r + 4) + (16)/(r + 4) d r

int ( r - 4 ) + (16)/(r + 4) d r

Agora ficou fácil para calcular!

Passo 2

Calcularemos a seguinte integral:

int ( r - 4 ) + (16)/(r + 4) d r

A primeira integral é moleza de se calcular.

int ( r - 4 ) d r = (r^2)/(2) - 4 r + C

Já a segunda devemos fazer uma substituição simples:

1 6 int (1)/(r + 4) d r

Chamando u = r + 4 temos que:

1 6 int (1)/(u) d u

1 6 ln u + C

Retornando para r ( u = r + 4 )

1 6 ln |r + 4| + C

Então nossa resposta final fica assim:

int ( r - 4 ) + (16)/(r + 4) d r = (r^2)/(2) - 4 r + 1 6 l n |r + 4| + C

(NÃO ESQUEÇA DA CONSTANTE “C”!!!!!!)

Resposta

int (r^2)/(r + 4) d r = (r^2)/(2) - 4 r + 16 l n |r + 4| + C

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