Avalie a integral.

∫ r 2 r + 4 d r

Passo 1

Para resolvermos a integral devemos torná-la um pouco mais simples do que a forma em que está. Devemos então, fazer com que apareça um termo r + 4 no numerador para que possamos simplificar a expressão. Mas, como fazer isso?! SIMPLES! CALMA!

Como nosso termo está elevado ao quadrado ( r 2 ) devemos somar e subtrair o termo que queremos de forma que ele seja um quadrado perfeito. Para a integral que vamos calcular, o nosso termo desejado será o 16 porque no denominador nosso termo que está “desquadratificado” (WTF?) é o 4. Assim:

∫ r 2 - 16 + 16 r + 4 d r

Observamos que o termo   r 2 - 16 é uma diferença de dois quadrados que resultará em ( r + 4 ) ( r - 4 ) :

∫ ( r + 4 ) ( r - 4 ) + 16 r + 4 d r

Pronto! Temos agora o termo que desejamos no numerador, vamos então separar as frações>

∫ ( r + 4 ) ( r - 4 ) r + 4 + 16 r + 4 d r

∫ ( r - 4 ) + 16 r + 4 d r

Agora ficou fácil para calcular!

Passo 2

Calcularemos a seguinte integral:

∫ ( r - 4 ) + 16 r + 4 d r

A primeira integral é moleza de se calcular.

∫ ( r - 4 ) d r = r 2 2 - 4 r + C

Já a segunda devemos fazer uma substituição simples:

1 6 ∫ 1 r + 4 d r

Chamando u = r + 4 temos que:

1 6 ∫ 1 u d u

1 6   ln ⁡ u + C

Retornando para r ( u = r + 4 )

1 6   ln ⁡ r + 4 + C

Então nossa resposta final fica assim:

∫ ( r - 4 ) + 16 r + 4 d r = r 2 2 - 4 r +   1 6   l n r + 4 + C

(NÃO ESQUEÇA DA CONSTANTE “C”!!!!!!)

Resposta

∫ r 2 r + 4 d r = r 2 2 - 4 r +   16   l n r + 4 + C

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