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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.4 - Ex. 20

Avalie a integral.

int (x^2)/(( x - 3 ) ( x + 2 )^2) d x

Passo 1

Primeiramente, vamos aplicar frações parciais para simplificar nossa função. Observamos que temos um termo elevado ao quadrado, logo:

(x^2)/(( x - 3 ) ( x + 2 )^2) = (A)/(x - 3) + (B)/(x + 2) + (C)/(( x + 2 )^2)

Agora vamos encontrar os valores numéricos dos coeficientes. Basta tirarmos o mínimo entre os termos:

(x^2)/(( x - 3 ) ( x + 2 )^2) = (A ( x + 2 )^2 + B (x - 3) (x + 2) + C ( x - 3 ))/(( x - 3 ) ( x + 2 )^2)

x^2 = A ( x + 2 )^2 + B (x - 3) (x + 2) + C ( x - 3 )

Para resolver esta expressão, basta substituirmos qualquer valor desejado para x. Vamos procurar um valor que possa zerar pelo menos um dos termos. Se considerarmos x = - 2 os termos A ( x + 2 )^2 e B (x - 3) (x + 2) vão zerar, restando apenas:

( - 2 )^2 = C ( - 2 - 3 )

C = - (4)/(5)

Substituindo um novo valor para x (consideraremos ele como +3), os termos B (x - 3) (x + 2) e C ( x - 3 ) irão zerar, logo:

( 3 )^2 = A ( 3 + 2 )^2

A = (9)/(25)

Agora vamos substituir os valores encontrados de A e C, considerar um novo valor para x(para facilitar os cálculos iremos considerar x = 1) para determinar o valor de B:

(1)^2 = (9)/(25) (1 + 2)^2 + B (1 - 3) (1 + 2) + (- (4)/(5)) (1 - 3)

B = (16)/(25)

Pronto! Nossa função após as frações parciais ficou:

(x^2)/(( x - 3 ) ( x + 2 )^2) = ((9)/(25))/(x - 3) + ((16)/(25))/(x + 2) - ((4)/(5))/(( x + 2 )^2)

Passo 2

Aplicando as frações parciais, descobrimos que:

int (x^2)/(( x - 3 ) ( x + 2 )^2) = int ((9)/(25))/(x - 3) + ((16)/(25))/(x + 2) - ((4)/(5))/(( x + 2 )^2) d x

Na primeira integral faremos substituição simples:

int ((9)/(25))/(x - 3) d x

u = x - 3 :

(9)/(25) int (1)/(u) d u = (9)/(25) ln |u| + C

Retornando para x:

int ((9)/(25))/(x - 3) d x = (9)/(25) ln |x - 3| + C

Na segunda integral também faremos substituição simples:

int ((16)/(25))/(x + 2) d x

u = x + 2

(16)/(25) int (1)/(u) d u = (16)/(25) ln |u| + C

Retornando para x:

int ((16)/(25))/(x + 2) d x = (16)/(25) ln |x + 2| + C

Na terceira integral também faremos substituição simples:

int ((4)/(5))/(( x + 2 )^2) d x

u = x + 2

(4)/(5) int [[(1)/(u^2) d u = (4)/(5) (- (1)/(u)) + C],[]]

Retornando para x:

int ((4)/(5))/(( x + 2 )^2) d x = (4)/(5) (- (1)/(x + 2)) + C

int ((4)/(5))/(( x + 2 )^2) d x = - (4)/(5 ( x + 2 )) + C

Então temos que:

int ((9)/(25))/(x - 3) + ((16)/(25))/(x + 2) - ((4)/(5))/(( x + 2 )^2) d x = (9)/(25) ln |x - 3| + (16)/(25) ln |x + 2| + (4)/(5 ( x + 2 ))

Moleza né? :P

Resposta

int (x^2)/(( x - 3 ) ( x + 2 )^2) d x = (9)/(25) ln |x - 3| + (16)/(25) ln |x + 2| + (4)/(5 ( x + 2 ))

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