Avalie a integral.

∫ x 2 ( x - 3 ) ( x + 2 ) 2 d x

Passo 1

Primeiramente, vamos aplicar frações parciais para simplificar nossa função. Observamos que temos um termo elevado ao quadrado, logo:

x 2 ( x - 3 ) ( x + 2 ) 2 =   A x - 3 +   B x + 2 + C ( x + 2 ) 2

Agora vamos encontrar os valores numéricos dos coeficientes. Basta tirarmos o mínimo entre os termos:

x 2 ( x - 3 ) ( x + 2 ) 2 =   A ( x + 2 ) 2 + B x - 3 x + 2 + C ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 2 ) 2

x 2 = A ( x + 2 ) 2 + B x - 3 x + 2 + C ( x - 3 )

Para resolver esta expressão, basta substituirmos qualquer valor desejado para x. Vamos procurar um valor que possa zerar pelo menos um dos termos. Se considerarmos x = - 2 os termos A ( x + 2 ) 2 e   B x - 3 x + 2 vão zerar, restando apenas:

( - 2 ) 2 = C ( - 2 - 3 )

C = - 4 5

Substituindo um novo valor para x (consideraremos ele como +3), os termos B x - 3 x + 2   e   C ( x - 3 ) irão zerar, logo:

( 3 ) 2 = A ( 3 + 2 ) 2

A = 9 25

Agora vamos substituir os valores encontrados de A e C, considerar um novo valor para x(para facilitar os cálculos iremos considerar x = 1) para determinar o valor de B:

1 2 = 9 25 1 + 2 2 + B 1 - 3 1 + 2 + - 4 5 1 - 3

B =   16 25

Pronto! Nossa função após as frações parciais ficou:

x 2 ( x - 3 ) ( x + 2 ) 2 =   9 25 x - 3 +   16 25 x + 2 - 4 5 ( x + 2 ) 2

Passo 2

Aplicando as frações parciais, descobrimos que:

∫ x 2 ( x - 3 ) ( x + 2 ) 2 = ∫ 9 25 x - 3 +   16 25 x + 2 - 4 5 ( x + 2 ) 2 d x

Na primeira integral faremos substituição simples:

∫ 9 25 x - 3 d x

u = x - 3 :

9 25 ∫ 1 u d u = 9 25 ln ⁡ u + C

Retornando para x:

∫ 9 25 x - 3 d x =   9 25 ln ⁡ x - 3 + C

Na segunda integral também faremos substituição simples:

∫ 16 25 x + 2 d x

u = x + 2

16 25 ∫ 1 u d u =   16 25 ln ⁡ u + C

Retornando para x:

∫ 16 25 x + 2 d x = 16 25 ln ⁡ x + 2 + C

Na terceira integral também faremos substituição simples:

∫ 4 5 ( x + 2 ) 2 d x

u = x + 2

4 5 ∫ 1 u 2 d u =   4 5 - 1 u + C

Retornando para x:

∫ 4 5 ( x + 2 ) 2 d x = 4 5 - 1 x + 2 + C

∫ 4 5 ( x + 2 ) 2 d x = - 4 5 ( x + 2 ) + C

Então temos que:

∫ 9 25 x - 3 +   16 25 x + 2 - 4 5 ( x + 2 ) 2 d x = 9 25 ln ⁡ x - 3 + 16 25 ln ⁡ x + 2 + 4 5 ( x + 2 )

Moleza né? :P

Resposta

∫ x 2 ( x - 3 ) ( x + 2 ) 2 d x = 9 25 ln ⁡ x - 3 + 16 25 ln ⁡ x + 2 + 4 5 ( x + 2 )

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