Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 39
Calcule a integral.
Passo 1
Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, podemos tentar fazer com que seja igual a secante, vamos lá:
Vamos fazer a mudança de variável:
Vamos agora achar a diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.
Passo 2
Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais:
Vamos achar os valores de e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Isolando na primeira, ficamos com:
Pronto, achamos os valores de e , vamos agora substituir de volta na integral:
Passo 3
Vamos resolver as duas separadamente, para a primeira é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos agora fazer a substituição:
Para a segunda vamos fazer uma Substituição:
Derivando:
Substituindo temos:
Agora fica simples de resolver, vamos lá.
Passo 4
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Juntando agora:
Passo 5
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi e :