Avalie a integral definida.

∫ - π 3 π 3 x 4 sen ⁡ x d x .

Passo 1

Oi, pessoal 😊! O enunciado tá pedindo pra gente calcular a integral definida

∫ - π 3 π 3 x 4 sen ⁡ x d x .

Bem, observe que o intervalo de integração é - π 3 , π 3 e a função que estamos integrando é a seguinte:

f x = x 4 sen ⁡ x .

Analisando essas informações com atenção, percebemos que o intervalo de integração é simétrico, né?

Tem uma propriedade muito bacana que pode nos ajudar, a Propriedade de Integrais de Funções Simétricas!

  • Se f é uma função contínua no intervalo simétrico [ - a , a ] e f é ímpar, ou seja, se

f x = - f - x

para todo x ∈ [ - a , a ] , então vale que

∫ - a a f x d x = 0 .

Mas será que f é uma função ímpar? Se for, então não teremos muito trabalho e o resultado dessa questão será zero, né?

Se não for, vamos ter que procurar uma primitiva para a função, ou usar as técnicas de substituição, conforme usualmente fazemos para resolver uma integral definida.

Fica de olho no próximo passo, beleza 👀?

Passo 2

Mas e aí, será que a função f é ímpar? Vamos calcular f ( - x ) para verificar!

Observe que

f - x = - x 4 sen ⁡ - x   .

Como a função seno é ímpar, ou seja,

sen ⁡ ( - x ) = sen ⁡ x ,

então

f - x = x 4 ⋅ - sen ⁡ x = - x 4 sen ⁡ x = - f x .

Com isso, mostramos que f é uma função ímpar e, pela Propriedade de Integrais de Funções Simétricas, vale que

∫ - π 3 π 3 f x d x = 0 .

Resposta

A integral vale:

∫ - π 3 π 3 x 4 sen ⁡ x d x = 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados