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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 43

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular a integral

∫ 2 2 sec 2 ⁡ ( sec - 1 ⁡ x ) x x 2 - 1   d x

Passo 1

Vamos começar nossa questão por relembrar o Teorema 7 – Substituição em integrais definidas. Se g ' for contínua no intervalo a , b e f fr contínua na imagem de g x = u , então

∫ a b f g x ⋅ g ' x   d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u )   d u

A ideia por trás deste teorema é encontrarmos uma função u = g ( x ) para que transformemos a nossa integral difícil em algo bem fácil! Inicialmente parece ser difícil visualizar uma boa mudança, mas com o decorrer das questões você verá que isto é bem simples!

Vamos optar por resolver a integral indefinida primeiramente. Após obtermos a primitiva da função, basta substituir os limites de integração conforme o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Muita calma nessa hora! A função parece ser bem confusa, temos funções trigonométricas, trigonométricas inversas, polinomiais e raízes. Tudo junto e misturado. Vamos começar por relembrar a derivada da função sec - 1 ⁡ x , uma função trigonométrica inversa que já estudamos anteriormente. Temos então:

sec - 1 ⁡ x ' = 1 x x 2 - 1

Já está percebendo aonde queremos chegar? Se fizermos a mudança u = sec - 1 ⁡ x , teremos:

d u = d x x x 2 - 1  

d x = x x 2 - 1 d u

Logo, temos:

∫ sec 2 ⁡ ( sec - 1 ⁡ x ) x x 2 - 1   d x = ∫ sec 2 ⁡ u x x 2 - 1 ⋅ x x 2 - 1 s 2 d u

∫ sec 2 ⁡ u   d u

Agora sim, chegamos a algo simples e que conseguimos integrar!

Passo 3

Continuando o cálculo do passo anterior, queremos integrar

∫ sec 2 ⁡ u   d u

Qual a primitiva cuja derivada é sec 2 ⁡ u ??? Sim! Lembram da função t g ( x ) ? Pois é, a sua derivada é exatamente o nosso integrando! Portanto, temos:

∫ sec 2 ⁡ u   d u = t g u + k

Muita calma nessa hora! Não podemos esquecer da constante k , já que a integral que foi resolvida é uma integral indefinida. Vamos voltar para a nossa variável x . Temos então:

t g u + k = t g sec - 1 ⁡ x + k

Passo 4

Após obtemos o valor da integral indefinida, para fazermos os cálculos da integral definida, é só esquecermos a existência da constante k ! Portanto, temos:

∫ 2 2 sec 2 ⁡ ( sec - 1 ⁡ x ) x x 2 - 1   d x = t g sec - 1 ⁡ x 2 2

∫ 2 2 sec 2 ⁡ ( sec - 1 ⁡ x ) x x 2 - 1   d x = t g sec - 1 ⁡ 2 - t g sec - 1 ⁡ 2

∫ 2 2 sec 2 ⁡ ( sec - 1 ⁡ x ) x x 2 - 1   d x = t g π 6 - t g π 4

Logo,

∫ 2 2 sec 2 ⁡ ( sec - 1 ⁡ x ) x x 2 - 1   d x = 3 - 1

Resposta

∫ 2 2 sec 2 ⁡ ( sec - 1 ⁡ x ) x x 2 - 1   d x = 3 - 1  

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