Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 55
Avalie a integral definida.
Passo 1
Oi, pessoal 😊! Nesse exercício, precisamos calcular a integral
Para isso, vamos utilizar a Regra da Substituição e transformar essa integral em uma outra beeeeem mais fácil de calcular.
A Regra da Substituição para integrais definidas diz que: Se for uma função contínua no intervalo e for contínua na imagem de então vale que
🤔 Como usamos essa Regra nessa questão?
Precisamos escolher as funções e de maneira conveniente e reescrever a integral dada como uma mais simples, combinado?
Além disso, nessa integral mais simples vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e obter o seu valor.
🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:
- Parte 2 do Teorema fundamental do cálculo: se a função é contínua no intervalo então
- A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.
onde é a primitiva da função , ou seja,
- Regra da Potência: para qualquer a integral indefinida da função é a função
onde é uma constante qualquer.
Bora lá!
Passo 2
Analisando com calma o integrando da integral
observamos que definindo
e
então
Além disso, derivando em relação à variável , temos que
ou seja,
Logo, substituindo os respectivos valores, vale que
ou seja, temos que a integral do enunciado é dada por
Sendo assim, pela Regra da Substituição podemos reescrevê-la da seguinte forma:
onde
e
Portanto, temos que
ou seja, descobrimos que
com
Mas observe que essa integral da direita, em função da variável , nós sabemos calcular né? Vamos fazer isso no próximo Passo 😉!
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental temos que
Mas, pela Regra da Potência vale que
Bem, como:
- Em
- Em
Então,
e como descobrimos no Passo anterior que
a integral procurada vale
Resposta
O valor da integral é: