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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 28

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F ⋅   d S   para o campo vetorial F e a superfície orientada S . Em outras palavras, determine o fluxo de F através de S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para fora) positiva.

F x , y , z = y i + x j + z 2 k

S é o helicoide do Exercício 18 , com orientação para cima.

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo certo?

A questão pede a integral de superfície:

∫ ∫ S F ⋅ d S  

Para o campo:

F x , y , z = y i + x j + z 2 k

A equação parametrizada de S no exercício 18 é igual a:

r u , v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k ,     0 ≤ u ≤ 1 ,   0 ≤ v ≤ π

O cálculo da integral de superfície é dado pela equação:

∬ S F ⋅ d S = ∬ S F r u , v ⋅ r u × r v d A

Então, basicamente temos que resolver a integral dupla do produto escalar:

F r u , v ⋅ r u × r v

Onde F é nosso campo dado no enunciado e r u e r v são as derivadas parciais do vetor r , composto pela parametrização da nossa superfície:

r u = ∂ x ∂ u ,   ∂ y ∂ u ,   ∂ z ∂ u

E:

r v = ∂ x ∂ v ,   ∂ y ∂ v ,   ∂ z ∂ v

O enunciado já deu nossa parametrização no vetor r u , v . Então, achamos as derivadas parciais r u e r v desse vetor. Achamos o produto vetorial entre desses dois vetores, calculamos o produto escalar da equação e resolvemos nossa integral dupla!

Vamos lá!

Passo 2

Agora temos que calcular os vetores r → u e r → v . Calculando as derivadas parciais de:

r u , v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k

  • Derivada em relação a u , tratando v como constante:

    • r → u = ∂ u cos ⁡ v ∂ u ,   ∂ u   s e n   v ∂ u ,   ∂ v ∂ u = cos ⁡ v i + s e n   v   j + 0 k

  • Derivada em relação a v , tratando u como constante:

r → v = ∂ u cos ⁡ v ∂ v ,   ∂ u   s e n   v ∂ v ,   ∂ v ∂ v = - u   s e n   v i + u cos ⁡ v j + 1 k

Agora fazemos o produto vetorial de r → u e r → v :

r u × r v = i j k cos ⁡ v s e n   v 0 - u   s e n   v u cos ⁡ v 1

Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando.

r u × r v = s e n   v 0 u cos ⁡ v 1 i - cos ⁡ v 0 - u   s e n   v 1 j + cos ⁡ v s e n   v - u   s e n   v u cos ⁡ v k

Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

r u × r v = s e n   v i + - cos ⁡ v j + u c o s 2 v + u s e n 2 v k = s e n   v i - cos ⁡ v i + u k

Agora falta acharmos o valor de:

F r u , v

que é nossa função do campo:

F x , y , z = y i + x j + z 2 k

Substituindo pelas componentes de:

r u , v = u cos ⁡ v i + u   s e n   v   j + v   k

Então, ficamos com:

F u , v = u s e n   v i + u cos ⁡ v j + v 2 k

Passo 3

∬ S F ⋅ d S = ∬ S F r u , v ⋅ r u × r v d A

No nosso caso, teremos:

= ∬ S u s e n   v i + u cos ⁡ v j + v 2 k ⋅ s e n   v i - cos ⁡ v i + u k d A

Aplicando os limites que o enunciado do Exercício 18 deu:

    0 ≤ u ≤ 1

0 ≤ v ≤ π

Temos:

∫ 0 1 ∫ 0 π u s e n   v i + u cos ⁡ v j + v 2 k ⋅ s e n   v i - cos ⁡ v i + u k   d v   d u

Fazendo o produto escalar, multiplicamos cada coordenada do primeiro vetor por sua coordenada correspondente no segundo vetor e somamos tudo. Portanto:

∫ 0 1 ∫ 0 π u s e n 2 v - u c o s 2 v + u v 2   d v   d u

O que é a mesma que:

∫ 0 1 ∫ 0 π u 1 - cos ⁡ 2 v 2 - u 1 + cos ⁡ 2 v 2 + u v 2   d v   d u

Simplificando:

∫ 0 1 ∫ 0 π - cos ⁡ 2 v + u v 2   d v   d u

Passo 4

Agora podemos em fim resolver nossa integral:

∫ 0 1 ∫ 0 π - cos ⁡ 2 v + u v 2   d v   d u

Separando a integral da soma numa soma de integrais:

∫ 0 1 ∫ 0 π - cos ⁡ 2 v   d v   d u + ∫ 0 1 ∫ 0 π u v 2   d v   d u

Separando cada variável de integração com sua respetiva integral:

∫ 0 1 d u ∫ 0 π - cos ⁡ 2 v   d v   + ∫ 0 1 u   d u ∫ 0 π v 2   d v  

Resolvendo nossas integrais:

= u 0 1 - 1 2 s e n   2 v 0 π + u 2 2 0 1 v 3 3 0 π

Aplicando os limites de integração em cada resultado:

0 + 1 2 ⋅ π 3 3 = π 3 6  

Então:

∫ ∫ S F   .   d S   = π 3 6

Resposta

∫ ∫ S F   .   d S   = π 3 6

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