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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 32

Determine o fluxo de F x , y , x = s e n x y z i + x 2 y j + z 2 e x 5 k através da parte do cilindro 4 y 2 + z 2 = 4 que está acima do plano x y e entre os planos x = - 2 e x = 2 com orientação para cima. Ilustre, usando um sistema algébrico computacional para desenhar o cilindro e o campo vetorial na mesma tela.

Passo 1

Oii, pessoal! Tudo certo?

A questão pede o fluxo do campo vetorial:

F x , y , x = s e n x y z i + x 2 y j + z 2 e x 5 k

Através da parte do cilindro:

4 y 2 + z 2 = 4

que está acima do plano x y e entre os planos x = - 2 e x = 2 com orientação para cima.

Para calcular o fluxo do campo vetorial, temos a integral dupla:

∫ ∫ S F ⋅   d S

Como estamos lidando com o gráfico de uma função:

4 y 2 + z 2 = 4

Podemos escrever nossa função em função de z :

z = g x , y = 4 - 4 y 2

E calcularmos nossa integral de linha pela equação:

∫ ∫ S F ⋅   d S = ∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A

Aqui, P , Q , R são as componentes da nossa função campo:

F x , y , z = P x , y , z i + Q x , y , z j + R x , y , z

Então, vamos precisar achar as derivadas parciais:

∂ g ∂ x

E:

∂ g ∂ y

E substituímos na nossa equação. Depois é só calcularmos a integral dupla como já estamos acostumados.

A questão também pede para desenharmos por um software o cilindro e o campo vetorial na mesma tela. Para isso podemos usar o GeoGebra. Vamos lá!

Passo 2

A função g ( x , y ) é a função z , onde no caso dessa questão pode ser encontrada pela equação do cilindro e que será igual a:

z = 4 - 4 y 2 = 4 1 - y 2

Tirando a raiz dos termos:

g ( x , y ) = z = 2 1 - y 2

A função campo tem formato:

F x , y , z = P x , y , z i + Q x , y , z j + R x , y , z

Retomando a equação do campo dada pelo enunciado:

F x , y , x = s e n x y z i + x 2 y j + z 2 e x 5 k

Então, nossos termos P , Q , R são:

P = s e n x y z

Q = x 2 y

R = z 2 e x 5

Calculando as derivadas parciais:

  • Derivando em x , tratando y como constante:

    • ∂ g ∂ x = ∂ 2 1 - y 2 ∂ x = 0

  • Derivando em y , tratando x como constante:

∂ g ∂ y = ∂ 2 1 - y 2 ∂ y = - 2 y 1 - y 2

Passo 3

Vamos substituir esses termos na nossa equação:

∫ ∫ S F ⋅   d S = ∫ ∫ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R d A

= ∫ ∫ D - s e n x y z ⋅ - 0 - x 2 y ⋅ - 2 y 1 - y 2 + z 2 e x 5 d A

Nosso primeiro termo vai zerar e rearranjando os termos, ficaremos com:

∫ ∫ D 2 y 2 x 2 1 - y 2 - 1 2 + e x 5 2 1 - y 2 2 d A

Pensando nos limites de integração, o enunciado traz que: a superfície está entre os planos x = - 2 e x = 2 . Então:

- 2 ≤ x ≤ 2

Fazendo z = 0 , temos nossa superfície no plano x y :

0 = 4 - 4 y 2

Elevando a equação ao quadrado:

0 = 4 - 4 y 2

Isolando y :

4 4 = y 2

Tirando a raiz quadrada:

y = ± 1

Então os limites são:

- 1 ≤ y ≤ 1

Passo 4

Isso nos deixa com a integral igual a:

∫ - 1 1 ∫ - 2 2 2 y 2 x 2 1 - y 2 - 1 2 + e x 5 2 1 - y 2 2 d x d y

Utilizando o CAS para integral a primeira função nós conseguimos como resposta:

∫ - 1 1 ∫ - 2 2 2 y 2 x 2 1 - y 2 - 1 2 = 16 π 3

E para a segunda:

∫ - 1 1 ∫ - 2 2 4   e x 5 1 - y 2   d x d y = 80 3 e 2 5 - 80 3 e - 2 5

Dessa forma a reposta exata disso é:

1 3 16 π + 80 e 2 5 - 80 e - 2 5

Passo 5

Aqui, usamos o GeoGebra 3 D para plotar o campo vetorial e o cilindro. Para o cilindro, basta colocar a função:

z = 2 1 - y 2

Para o campo vetorial, usamos a função sequência do software e digitamos o vetor:

F x , y , x = s e n x y z i + x 2 y j + z 2 e x 5 k

E variamos os valores de x , y e z livremente. Isso nos dá a imagem:

Resposta

1 3 16 π + 80 e 2 5 - 80 e - 2 5

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