Enunciado

Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.

  1. ( 2 ,   π / 2 ,   π / 2 )
  2. ( 4 , -   π / 4 ,   π / 3 )

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem?

A questão quer que a gente marque, ou seja, localize um ponto em coordenadas esféricas e depois pede para encontrarmos o equivalente desse ponto em coordenadas retangulares:

As relações entre coordenadas esféricas ρ , θ , ϕ e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

Então, vamos precisar usar as equações acima para transformar nosso ponto em um ponto de coordenadas retangulares.

Bora lá!

Passo 2

Letra a:

Agora precisamos esboçar o ponto que nos foi dado. A distância da origem até o ponto é 2 , e sabemos que ϕ é o ângulo que sai do eixo z positivo pra baixo. Temos ϕ = π 2 então quer dizer que estamos no plano x y . E com θ = π 2 sabemos que, a partir do eixo x , ele percorre 90 ° em sentido anti horário, estando no eixo y . Então o esboço é o seguinte:

E como sabemos ρ ,   θ ,   ϕ fica bem tranquilo determinar os pontos x , y , z , é só substituir:

( ρ ,   θ ,   ϕ ) = 2 , π 2 , π 2

Então ficamos com:

x = 2 s e n π 2 cos ⁡ π 2 = 0 y = 2 s e n π 2 s e n π 2 = 2 z = 2 c o s π 2 = 0

Então esse ponto é

x , y , z = ( 0,2 , 0 )

Beleza? Vamos para o próximo ponto?

Passo 3

Letra b:

Agora a distância até a origem é 4 . O ângulo θ é θ = - π 4 , então estamos indo em sentido horário, rotacionando 45 ° , o que nos deixa entre a parte negativa de y e positiva de x . O ângulo azimutal ( ϕ ) é π 3 , então estamos na porção superior do eixo z . O esboço desse ponto é:

E como sabemos ρ ,   θ ,   ϕ fica bem tranquilo determinar os pontos x , y , z , é só substituir:

ρ ,   θ ,   ϕ = ( 4 , -   π / 4 ,   π / 3 )

Substituindo os valores nas nossas equações:

x = 4 s e n π 3 cos ⁡ - π 4 = 4 . 3 2 . 2 2 = 6 y = 4 s e n π 3 s e n - π 4 = 4 . 3 2 . - 2 2 = - 6 z = 4 c o s π 3 = 4 . 1 2 = 2

Assim o ponto é

x , y , z = 6 ,   - 6 , 2 .

Resposta

a ) x , y , z = ( 0,2 , 0 )

b ) x , y , z = ( 6 ,   - 6 , 2 )

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