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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.13 - Ex. 7

Calcular

I =   ∫ ∫ S x d y d z + y d z d x + z d x d y    

Onde S é a superfície exterior do cilindro

x 2 + z 2 = a 2

Limitado pelos planos

y =   - 4  

y = 4

Passo 1

SUPERDICA : Quando temos uma região que podemos projetar – por exemplo uma semi-esfera no plano XY – e não perdemos nenhum pedaço de área então podemos usar o truque

n → =   ∇ → g ∇ → g

Agora no nosso caso temos um cilindro, onde qualquer projeção possível perdemos área. Então só nos resta Parametrizar a região e usar que

n → = r u   x   r v r u   x   r v

Então vamos lá. Precisamos parametrizar esse cilindro. E um bom caminho é

r   u , y = a cos ⁡ u ,     y ,     a   s e n   u  

Assim nossa função f   fica

f x , y , z = x , y , z  

f r u , y = a cos ⁡ u ,     y ,     a   s e n   u

Passo 2

Agora precisamos encontrar o rotacional das derivadas de r

r u = - a   s e n   u ,     0 ,     acos ⁡ u  

r y = 0 ,     1 ,     0

r u   x   r y =   x → y → z → - a s e n   u   0 a cos ⁡ u 0 1 0  

O sinal rotacional depende apenas da ordem que botamos os vetores, então se seu resultado deu o mesmo sendo que negativo ou positivo, fica tranquilo que ta certinho 😉. Eu vou escolher o resultado positivo porque fica mais fácil na digitação do exercício 😉

r u   x   r y = acos ⁡ u ,       0 ,       a   s e n   u

Passo 3

Vamos unir tudo na nossa integração

∫ ∫ S f x , y , z * n   d S   = ∫ ∫ R f r u , v ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v * r u   x   r v r u   x   r v   d u d v

=   ∫ ∫ R f r u , v * r u   x   r v     d u d v

= ∫ ∫ R a cos ⁡ u ,     y ,     a   s e n   u * acos ⁡ u ,       0 ,       a   s e n   u     d u d y  

= ∫ ∫ R a 2 cos 2 ⁡ u + s e n ²   u     d u d y  

= a 2 ∫ ∫ R     d u d y

E como nossos intervalos de integração são

0 < u < 2 π

- 4 < y < 4

Essa integral fica assim

= a 2 * 2 π * 8

= 16 a 2 π

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

I =   ∫ ∫ S x d y d z + y d z d x + z d x d y = 16 a 2 π      

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