Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 1.1 - Ex. 26

Um balão esférico com raio de r centímetros tem o volume V r = 4 3   π r 3 . Encontre uma função que represente a quantidade de ar necessária para inflar o balão de um raio r até um raio r + 1 centímetros.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema temos um balão esférico com raio de r centímetros tem o volume V r = 4 3   π r 3 . E nosso objetivo é encontrar uma função que represente a quantidade de ar necessária para inflar o balão de um raio r até um raio r + 1 centímetros.

Parece complicado? 🤔

Bom galera, para resolver essa questão, precisamos ter, inicialmente, duas coisas em mente. A primeira delas é que, como o enunciado da questão diz, o volume do balão é dado por:

V r = 4 3   π r 3

A segunda, é que o balão, quando estiver cheio, terá raio r + 1 centímetros. Isso quer dizer que o seu volume será dado por:

V r + 1 = 4 3   π ( r + 1 ) 3

Sacou? Bora seguir em frente então! 😎

Passo 2

Eles querem uma função que represente o quanto de ar é necessário para o balão ir do raio r para o raio r + 1 . Quando isso acontecer, o volume irá de V ( r ) para V ( r + 1 ) . Se pegarmos o volume maior e subtrairmos o volume menor, teremos a quantidade de ar que foi utilizada para inflar o balão. Vamos chamar essa quantidade de I ( r ) , e aí a gente concluí o seguinte:

I r = V r + 1 - V ( r )

Beleza? Achando I ( r ) , teremos a resposta da nossa questão!

Veja só! 😊

Passo 3

Vamos, agora, substituir as expressões encontradas no Passo 1 pela expressão que montamos no Passo 2. Bora lá:

I r = 4 3   π ( r + 1 ) 3 - 4 3   π r 3

Podemos deixar 4 3 π em evidência na expressão, ficando assim:

I r = 4 3   π [ ( r + 1 ) 3 - r 3 ]

Temos, agora, que expandir o termo r + 1 3 , que é o cubo da soma, isto é, ele é da forma a + b 3 . Tem uma forma pronta pra quando temos um cubo da soma, que é a seguinte:

a + b 3 = a 3 + 3 a b 2 + 3 a 2 b + b 3

Com base nisso, a gente pode expandir o termo r + 1 3 . Dá uma olhada:

r + 1 3 = r 3 + 3   .   r 2   .   1 + 3   .   r   .   1 2 + 1 3

O que dá:

r + 1 3 = r 3 + 3 r 2 + 3 r + 1

Agora, é só substituir esse cara no nosso I ( r ) :

I r = 4 3   π [ r 3 + 3 r 2 + 3 r + 1 - r 3 ]

Dá pra ver que temos os termos r 3 e - r 3 , que vão se cancelar, e vai ficar assim:

I r = 4 3   π [ 3 r 2 + 3 r + 1 ]

Pronto! Essa é a nossa resposta final ;)

Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

I r = V r + 1 - V ( r ) = 4 3   π [ 3 r 2 + 3 r + 1 ]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se f( x ) = 3 x 2 - x + 2 , encontre f ( 2 ) , f - 2 , f ( a ) , f ( - a ) , f ( a + 1 ) , 2 . f ( a ) , f ( 2 a ) , f ( a 2 ) , f a 2 e f ( a + h ) .
Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmi
Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmi
Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. (Não use computador ou calculadora gráfica) y = 3 x y = 3 x y = x 3 y = x 3
Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha. (Não use computador ou calculadora gráfica) y = x 2 y = x 5 y = x 8