Um balão esférico com raio de r centímetros tem o volume V r = 4 3   π r 3 . Encontre uma função que represente a quantidade de ar necessária para inflar o balão de um raio r até um raio r + 1 centímetros.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😉

Nesse problema temos um balão esférico com raio de r centímetros tem o volume V r = 4 3   π r 3 . E nosso objetivo é encontrar uma função que represente a quantidade de ar necessária para inflar o balão de um raio r até um raio r + 1 centímetros.

Parece complicado? 🤔

Bom galera, para resolver essa questão, precisamos ter, inicialmente, duas coisas em mente. A primeira delas é que, como o enunciado da questão diz, o volume do balão é dado por:

V r = 4 3   π r 3

A segunda, é que o balão, quando estiver cheio, terá raio r + 1 centímetros. Isso quer dizer que o seu volume será dado por:

V r + 1 = 4 3   π ( r + 1 ) 3

Sacou? Bora seguir em frente então! 😎

Passo 2

Eles querem uma função que represente o quanto de ar é necessário para o balão ir do raio r para o raio r + 1 . Quando isso acontecer, o volume irá de V ( r ) para V ( r + 1 ) . Se pegarmos o volume maior e subtrairmos o volume menor, teremos a quantidade de ar que foi utilizada para inflar o balão. Vamos chamar essa quantidade de I ( r ) , e aí a gente concluí o seguinte:

I r = V r + 1 - V ( r )

Beleza? Achando I ( r ) , teremos a resposta da nossa questão!

Veja só! 😊

Passo 3

Vamos, agora, substituir as expressões encontradas no Passo 1 pela expressão que montamos no Passo 2. Bora lá:

I r = 4 3   π ( r + 1 ) 3 - 4 3   π r 3

Podemos deixar 4 3 π em evidência na expressão, ficando assim:

I r = 4 3   π [ ( r + 1 ) 3 - r 3 ]

Temos, agora, que expandir o termo r + 1 3 , que é o cubo da soma, isto é, ele é da forma a + b 3 . Tem uma forma pronta pra quando temos um cubo da soma, que é a seguinte:

a + b 3 = a 3 + 3 a b 2 + 3 a 2 b + b 3

Com base nisso, a gente pode expandir o termo r + 1 3 . Dá uma olhada:

r + 1 3 = r 3 + 3   .   r 2   .   1 + 3   .   r   .   1 2 + 1 3

O que dá:

r + 1 3 = r 3 + 3 r 2 + 3 r + 1

Agora, é só substituir esse cara no nosso I ( r ) :

I r = 4 3   π [ r 3 + 3 r 2 + 3 r + 1 - r 3 ]

Dá pra ver que temos os termos r 3 e - r 3 , que vão se cancelar, e vai ficar assim:

I r = 4 3   π [ 3 r 2 + 3 r + 1 ]

Pronto! Essa é a nossa resposta final ;)

Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

I r = V r + 1 - V ( r ) = 4 3   π [ 3 r 2 + 3 r + 1 ]

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