Enunciado

Se f   ( x ) = 3 x 2 - x + 2 , encontre f ( 2 ) , f - 2 , f ( a ) , f ( - a ) , f ( a + 1 ) , 2 . f ( a ) , f ( 2 a ) , f ( a 2 ) , f a 2 e f ( a + h ) .

Passo 1

E aí, estás pronto pra resolver essa questão? Então bora lá, mão na massa!

Bom, no enunciado nos é dada a função f x = 3 x 2 - x + 2

E é pedido para que trabalhemos com essa função.

É bom a gente lembrar aqui que, quando temos uma função f ( x ) , o x é o argumento da função. Isso quer dizer que, se temos, por exemplo, f ( 2 ) , temos que substituir o 2 onde quer que o x apareça. Sacou? É isso que a gente vai fazer agora...

Passo 2

Primeiro queremos encontrar f 2 , então temos que substituir onde o x aparece por 2 :

f 2 = 3   .   2 2 - 2 + 2

Fazendo as continhas:

f 2 = 3   .   4 + 0

Ficamos com o resultado:

f 2 = 12

Passo 3

Bom, aqui é bem parecido com o item anterior, mas no lugar de x = 2 iremos fazer x = - 2 . Olha só:

f - 2 = 3   .   ( - 2 ) 2 - ( - 2 ) + 2

Agora é só ajeitar esses sinais negativos e fazer as continhas! Só um lembrete: todo número negativo ao quadrado dá um resultado positivo, beleza? Isso vai ajudar lá agora e lá na frente, então sempre tenha isso em mente! Olha com fica:

f - 2 = 3   .   4 + 2 + 2

O que vai resultar na seguinte expressão final:

f - 2 = 16

Passo 4

Nesse próximo, queremos encontrar f ( a ) . Não precisa se assustar por ter uma letra no lugar do número não, é a mesma coisa que a questão anterior! Saca só:

f a = 3 a 2 - a + 2

E esse já é o f a final! Fica uma expressão grande assim mesmo porque eu não tenho como somar 3 a 2 com 2 ou subtrair - a . Como não tem essa possibilidade, essa fica sendo a nossa resposta pra essa parte da questão!

Passo 5

Vamos agora encontrar f ( - a ) , é parecido com o que a gente viu no passo 2. Dá uma olhada:

f - a = 3 ( - a ) 2 - ( - a ) + 2

Agora a gente pode dar mais uma ajeitada e mexer com os sinais negativos da expressão, como é o caso do - a ali que ta ao quadrado. Isso vai resultar na seguinte expressão final:

f - a = 3 a 2 + a + 2

Passo 6

Nesse aqui queremos o f ( a + 1 ) . Começamos fazendo a mesma coisa que a gente fez nos passos anteriores de substituir:

f a + 1 = 3 ( a + 1 ) 2 - ( a + 1 ) + 2

Agora, vamos trabalhar com a expressão, expandindo o termo a + 1 2 . Ele é um produto notável, ou seja, quando o expandirmos, vamos ter o quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro, vezes o segundo termo mais o quadrado do segundo termo. Lembrou? Fica com isso na cabeça que vai servir pra sempre! O termo - ( a + 1 ) é a mesma coisa que - a - 1 , o que a gente vai ajeitar na expressão também. Saca só:

f a + 1 = 3 . ( a 2 + 2 a + 1 ) - a - 1 + 2

Agora, a gente pega e multiplica por 3 o que deve ser multiplicado:

f a + 1 = 3 a 2 + 6 a + 3 - a - 1 + 2

Por fim, fata só a gente somar/subtrair os termos que são parecidos. Da uma olhada na nossa expressão final dessa parte:

f a + 1 = 3 a 2 + 5 a + 4

Ta beleza? A gente já fez metade dos itens, bora em frente!

Passo 7

Vamos achar quem é 2   .   f ( a ) . Como a gente achou f ( a ) no Passo 3, é só a gente pegar e multiplicar a expressão toda por 2 , entendeu? Olha como fica:

2 . f a = 6 a 2 - 2 a + 4

Passo 8

A gente vai calcular nessa parte o f ( 2 a ) , ou seja, iremos fazer na nossa expressão a substituição x = 2 a . Olha só:

f 2 a = 3 ( 2 a ) 2 - ( 2 a ) + 2

Tudo que falta agora é calcular e substituir 2 a 2 , que vale 4 a 2 . Multiplicamos esse resultado por 3 , o que vai resultar na seguinte expressão final:

f 2 a = 12 a 2 - 2 a + 2

Passo 9

Agora vamos lidar com o f ( a 2 ) , logo, vamos fazer x = a 2 . Olha como fica a expressão inicial:

f a 2 = 3 a 2 2 - ( a 2 ) + 2

Para a expressão ficar do jeitinho que a gente quer, falta só ajeitar o a 2 2 . Nessa parte, a gente tem que lembrar que, quando a gente tem uma potência elevada a outra potência, multiplicamos os expoentes. Isso quer dizer que a 2 2 = a 4 , ta ok? Resolvido isso, olha o que vai restar:

f a 2 = 3 a 4 - a 2 + 2

Passo 10

Para acharmos f a 2 , temos que pegar a expressão de f ( a ) e multiplicar por ela mesma. Vai dar um pouco de trabalho, mas nada que a gene não consiga fazer com calma! Dá uma olhada:

f a 2 = 3 a 2 - a + 2 2

f a 2 = 3 a 2 - a + 2   .   3 a 2 - a + 2

Para fazer essa multiplicação a gente faz o famoso “chuveirinho”, multiplicando cada termo de dentro de um parêntese por cada termo de dentro do outro. Não ta lembrando? No caso do 3 a 2 do primeiro parêntese, por exemplo, vamos multiplicar ele com os seguintes termos:

Relembrou? Pois é, a gente vai fazer isso pra todos os termos. No final, olha como fica essa multiplicação:

f a 2 = 9 a 4 - 3 a 3 + 6 a 2 - 3 a 3 + a 2 - 2 a + 6 a 2 - 2 a + 4

Ta cabando! Falta a gente só somar/subtrair os termos em comum e pronto! Vai ficar assim:

f a 2 = 9 a 4 - 6 a 3 + 13 a 2 - 4 a + 4

Passo 11

Última expressão, uhul! Falta só acharmos f ( a + h ) . A gente começa fazendo x = a + h :

f a + h = 3 ( a + h ) 2 - ( a + h ) + 2

Agora, a gente expande o termo a + h 2 :

f a + h = 3 a 2 + 2 . a . h + h 2 - ( a + h ) + 2

Fazemos, então, as devidas multiplicações:

f a + h = 3 a 2 + 6 . a . h + 3 h 2 - a - h + 2

E essa já é a nossa resposta final! :)

Resposta

f 2 = 12

f - 2 = 16

f a = 3 a 2 - a + 2

f - a = 3 a 2 + a + 2

f a + 1 = 3 a 2 + 5 a + 4

2 . f a = 6 a 2 - 2 a + 4

f 2 a = 12 a 2 - 2 a + 2

f a 2 = 3 a 4 - a 2 + 2

f a 2 = 9 a 4 - 6 a 3 + 13 a 2 - 4 a + 4

f a + h = 3 a 2 + 6 . a . h + 3 h 2 - a - h + 2

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