Um balde que pesa 4   l b a uma corda de peso desprezível são usados para tirar água de um poço com 80   p é s de profundidade. O balde é preenchido com 40   l b de água e é puxado a uma taxa de 2   f t / s , mas a água vaza de um buraco no balde a uma taxa de 0,2 l b s / s . Encontre o trabalho realizado ao puxar o balde para o topo do poço.

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que calculemos o trabalho realizado ao puxar o balde para o topo do poço.

Para isso, a questão nos diz que um balde que pesa 4   l b a uma corda de peso desprezível são usados para tirar água de um poço com 80   p é s de profundidade.

Além disso, O balde é preenchido com 40   l b de água e é puxado a uma taxa de 2   f t / s , mas a água vaza de um buraco no balde a uma taxa de 0,2 l b s / s .

Dessa forma, sabemos que o trabalho W é dado por:

W = ∫ a b F ( x ) d x

Assim, iremos admitir que o ponto onde o cabo é suspenso tem coordenada 80 e o ponto mais baixo tem ordenada   0   p é s .

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Após um deslocamento x do balde, o tempo para esse deslocamento será:

2 = x t ∴

t = x 2

E qual o peso após esse deslocamento x ? Ora... o peso em função do tempo seria dado por:

P = ( 44 - 0,2 t )

Obs: lembrando que a massa do balde cheio é 4   l b   +   40   l b s .

Porém t = x 2 , substituindo na expressão do peso temos:

P = 44 - 0,2 x 2 ∴

P = ( 44 - 0,1 x )

Passo 3

Temos a expressão do peso do balde após um x genérico, então para calcularmos o W , podemos usar a expressão abaixo:

W = ∫ a b F ( x ) d x

Em que F ( x ) , é a força sobre esse sistema num ponto genérico.

E temos essa expressão.

W = ∫ 0 80 44 - 0,1 x g d x ∴

W = 44 x - 0,1 2 x 2 0 80 ∴

W = 44 × 80 - 0,1 2 × 6400 ∴

W = 3200 f t - l b s

Passando esse trabalho para Joules, temos ( 1   f t - l b s = 1,35 J )

W = 4320 J

Resposta

W = 4320 J

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