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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 16

Avalie a integral.

int_1^2 (x^3 + 4 x^2 + x - 1)/(x^3 + x^2) d x

Passo 1

Pra inicio de conversa, nós temos frações parciais com expoentes iguais, logo,

(x^3 + 4 x^2 + x - 1)/(x^3 + x^2) = (x^3 + 4 x^2)/(x^3 + x^2) + (x - 1)/(x^3 + x^2)

= (x^2 ( x + 4 ))/(x^2 ( x + 1 )) + (x - 1)/(x^2 ( x + 1 ))

Eliminamos os termos iguais...

= (x + 4)/(x + 1) + (x - 1)/(x^2 ( x + 1 ))

Pronto!!

Passo 2

Agora, vamos aplicar frações parciais nesse termo:

(x - 1)/(x^2 ( x + 1 )) = (A)/(x) + (B)/(x^2) + (C)/(x + 1)

Multiplicando tudo por x^2 ( x - 1 ) , temos:

x - 1 = A x ( x + 1 ) + B ( x + 1 ) + C ( x^2 )

Resolvendo isso temos que:

x - 1 = A x^2 + A x + B x + B + C ( x^2 )

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + C = 0

A + B = 1

B = - 1

Portanto: A = 2 , B = 1 e C = - 2 . Substituindo, temos:

(x + 1)/(x^2 ( x + 1 )) = (2)/(x) - (1)/(x^2) - (2)/(x + 1)

Passo 3

Com essas analises, podemos integrar...

int_1^2 (x^3 + 4 x^2 + x - 1)/(x^3 + x^2) d x = (x + 4)/(x + 1) + (2)/(x) - (1)/(x^2) - (2)/(x + 1)

= int_1^2 (x + 4)/(x + 1) d x + int_1^2 (2)/(x) d x - int_1^2 (1)/(x^2) d x - int_1^2 (2)/(x + 1) d x

Fazemos uma substituição na primeira: u = x + 1 e d u = d x

= [u + 3 ln u]_1^2 + int_1^2 (2)/(x) d x - int_1^2 (1)/(x^2) d x - int_1^2 (2)/(x + 1) d x

Para a segunda integral, temos

= [( x + 1 ) + 3 ln ( x + 1 )]_1^2 + 2 [ln x]_1^2 - [- (1)/(x)]_1^2 - 2 [ln (x + 1)]_1^2

Agora é só substituirmos os intervalos:

= [( x + 1 ) + 3 ln ( x + 1 )]_1^2 + 2 [ln x]_1^2 + [(1)/(x)]_1^2 - 2 [ln (x + 1)]_1^2

= 1 + 3 ln ( (3)/(2) ) + 2 ln 2 - (1)/(2) - 2 ln ( (3)/(2) )

= (1)/(2) + 3 ln ( (3)/(2) ) + 2 ln ((4)/(3))

= (1)/(2) + ln ( 6 )

Prontinho!!

Resposta

int_1^2 (x^3 + 4 x^2 + x - 1)/(x^3 + x^2) d x = (1)/(2) + ln ( 6 )

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