Avalie a integral.

∫ 1 2 x 3 + 4 x 2 + x - 1 x 3 + x 2 d x

Passo 1

Pra inicio de conversa, nós temos frações parciais com expoentes iguais, logo,

x 3 + 4 x 2 + x - 1 x 3 + x 2 = x 3 + 4 x 2 x 3 + x 2 + x - 1 x 3 + x 2

= x 2 ( x + 4 ) x 2 ( x + 1 ) + x - 1 x 2 ( x + 1 )

Eliminamos os termos iguais...

= x + 4 x + 1 + x - 1 x 2 ( x + 1 )

Pronto!!

Passo 2

Agora, vamos aplicar frações parciais nesse termo:

x - 1 x 2 ( x + 1 ) = A x + B x 2 + C x + 1

Multiplicando tudo por x 2 ( x - 1 ) , temos:

x - 1 = A x ( x + 1 ) + B ( x + 1 ) + C ( x 2 )

Resolvendo isso temos que:

x - 1 = A x 2 + A x + B x + B + C ( x 2 )

Agora igualamos os termos e achamos os seus respectivos valores:

A + C = 0

A + B = 1

B = - 1

Portanto: A = 2 , B = 1 e C = - 2 . Substituindo, temos:

x + 1 x 2 ( x + 1 ) = 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1

Passo 3

Com essas analises, podemos integrar...

∫ 1 2 x 3 + 4 x 2 + x - 1 x 3 + x 2 d x = x + 4 x + 1 + 2 x - 1 x 2 - 2 x + 1

= ∫ 1 2 x + 4 x + 1 d x + ∫ 1 2 2 x d x - ∫ 1 2 1 x 2 d x - ∫ 1 2 2 x + 1 d x

Fazemos uma substituição na primeira: u = x + 1 e d u = d x

= u + 3 ln ⁡ u 1 2 + ∫ 1 2 2 x d x - ∫ 1 2 1 x 2 d x - ∫ 1 2 2 x + 1 d x

Para a segunda integral, temos

= ( x + 1 ) + 3 ln ⁡ ( x + 1 ) 1 2 + 2 ln ⁡ x 1 2 - - 1 x 1 2 - 2 ln ⁡ x + 1 1 2

Agora é só substituirmos os intervalos:

= ( x + 1 ) + 3 ln ⁡ ( x + 1 ) 1 2 + 2 ln ⁡ x 1 2 + 1 x 1 2 - 2 ln ⁡ x + 1 1 2

= 1 + 3 ln ⁡ ( 3 2 ) + 2 ln ⁡ 2 - 1 2 - 2 ln ⁡ ( 3 2 )

= 1 2 + 3 ln ⁡ ( 3 2 ) + 2 ln ⁡ 4 3

= 1 2 + ln ⁡ ( 6 )

Prontinho!!

Resposta

∫ 1 2 x 3 + 4 x 2 + x - 1 x 3 + x 2 d x = 1 2 + ln ⁡ ( 6 )

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