31. A Energia cinética E c de um objeto de massa movendo com velocidade v é definido como E c = m v 2 2 . Se uma força f ( x ) atua no objeto, movendo ao longo do eixo x de x 1 para x 2 , O Teorema do Trabalho-Energia afirma que o trabalho feito é igual a mudança de energia cinética m v 1 2 2 - m v 2 2 2 , onde v 1 é a velocidade em x 1 e v 2 é a velocidade em x 2 .

(a) Seja x = s ( t ) a função da posição de um objeto num tempo t e v ( t ) , a ( t ) a função velocidade e aceleração. Prove o Teorema Trabalho-Energia, inicialmente usando a regra de substituição para integrais definidas ( 5.5 . 6 ) que mostra que:

W = ∫ x 1 x 2 f ( x ) d x = ∫ t 1 t 2 f ( s ( t ) ) v ( t ) d t

Então use a segunda Lei de Newton ( F o r ç a = m a s s a   x   a c e l e r a ç ã o ) e substitua u = v ( t ) para calcular a integral.

(b) Quanto de trabalho ( e m   f t   –   l b ) é necessário para arremessar uma bola de 12   l b   a 20   m i / h ?(Nota: divida o peso em libras por 32   f t / s 2 , a aceleração devido à gravidade, para encontrar a massa em slug).

Passo 1

Vamos fazer a questão com calma, pois parece ser bem difícil, mas na verdade não é!

Passo 2

Nesse passo, deixarei apenas a letra (a):

Pela regra que nos foi dada no enunciado, temos que o trabalho é:

W = ∫ t 1 t 2 f ( s ( t ) ) v ( t ) d t

Porém a força, pode ser escrita como     F o r ç a = m a s s a   x   a c e l e r a ç ã o

f = m a ( t )

E a derivada da velocidade em função do tempo, é a nossa aceleração, então

f ( s ( t ) ) = m d v d t

Substituindo isso na integral, temos:

W = ∫ t 1 t 2 m d v d t v ( t ) d t

W = ∫ t 1 t 2 m d v v ( t )

W = m ∫ v 1 v 2 v ( t ) d v = m v 2 2 v 2 v 1 = m v 1 2 2 - m v 2 2 2

Prontooo! Demonstrado! Não era difícil, viu?

Passo 3

Aqui faremos apenas a letra b , calcularemos inicialmente a massa em slug.

m = 12   l b   32   f t / s 2 = 0,375 s l u g

Para calcularmos o trabalho, faremos o que acabamos de calcular que é o teorema do trabalho-energia

E sabendo que 1   m i / h = 1,47   f t / s , teremos que:

20 m i / h = 29,4 f t / s

A bolinha sai do repouso hein, não esqueça!

Aplicando o teorema de trabalho energia temos:

W = m v 1 2 2 - m v 2 2 2 = 0,375 29,4 2 2 = 162,07   l b - f t

Resposta

W = 162,07   l b - f t

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