31. A Energia cinética de um objeto de massa movendo com velocidade é definido como . Se uma força atua no objeto, movendo ao longo do eixo de para , O Teorema do Trabalho-Energia afirma que o trabalho feito é igual a mudança de energia cinética , onde é a velocidade em e é a velocidade em .

(a) Seja a função da posição de um objeto num tempo e , a função velocidade e aceleração. Prove o Teorema Trabalho-Energia, inicialmente usando a regra de substituição para integrais definidas ( que mostra que:

Então use a segunda Lei de Newton e substitua para calcular a integral.

(b) Quanto de trabalho é necessário para arremessar uma bola de a ?(Nota: divida o peso em libras por , a aceleração devido à gravidade, para encontrar a massa em slug).

Nesse passo, deixarei apenas a letra (a):

Pela regra que nos foi dada no enunciado, temos que o trabalho é:

Porém a força, pode ser escrita como

E a derivada da velocidade em função do tempo, é a nossa aceleração, então

Substituindo isso na integral, temos:

Prontooo! Demonstrado! Não era difícil, viu?

Aqui faremos apenas a letra , calcularemos inicialmente a massa em slug.

Para calcularmos o trabalho, faremos o que acabamos de calcular que é o teorema do trabalho-energia

E sabendo que , teremos que:

A bolinha sai do repouso hein, não esqueça!

Aplicando o teorema de trabalho energia temos: