No beisebol, um batedor rebate uma bola, que está 3   p é s acima do chão, em direção à parte central do campo, que tem 10   p é s de altura e dista 400   p é s da base do lançamento. A bola deixa o bastão com uma velocidade escalar de 115 p é s / s e com ângulo de 50 ° acima da horizontal. Foi home run? (Em outras palavras, a bola passou por cima da cerca?)

Passo 1

Olá, tudo bem? Para resolver essa questão vamos fazer um desenho e pegar todas as informações que o enunciado trás, assim poderemos visualizar melhor o que está acontecendo.

O problema nos diz que a bola tem uma posição inicial y 0 = 3 p é s e uma velocidade inicial de módulo ( 115 p é s / s ) e ângulo de elevação de 50 ° .

No desenho o vetor azul representa a velocidade inicial vertical e o vetor vermelho, a horizontal.

A bola é arremessada e descreve uma curva parabólica na direção da cerca e o que queremos saber é, se com as condições iniciais de lançamento, a bola passa acima da cerca.

Os dados iniciais:

  • Velocidade inicial: v 0 = 115 p é s / s
  • Ângulo de elevação: θ = 50 °
  • Aceleração da gravidade em p é s / s ² : g = 32 p é s / s ²
  • Vetor posição inicial: r → 0 = x 0 i → + y 0 j → = 3 p é s j →

Primeiro vou calcular a velocidade inicial da componente vertical e horizontal da bola.

  • Vertical: v 0 y = v 0 s e n θ = 115 ⋅ s e n 50 = 88 p é s / s
  • Horizontal: v 0 x = v 0 cos ⁡ θ = 115 ⋅ c o s ⁡ ( 50 ) = 74 p é s / s

Para descobrirmos se tivemos um home run ou não, iremos encontrar o período que a bola leva para se deslocar a até a cerca, com esse tempo em mãos, iremos na relação da altura y da bola e veremos qual a sua posição nesse tempo, se ela for maior que a altura da cerca, a bola passou, se não for, então a bola não passou e não foi home run.

Passo 2

Agora podemos montar o vetor posição em função do tempo t :

r → t = v 0 x t i → + y 0 + v 0 y t - g t 2 2 j →

r → t = v 0 cos ⁡ θ ⋅ t i → + y 0 + v 0 s e n ( θ ) t - g t 2 2 j →

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora vamos pensar um pouco. O tempo que a bola leva para percorrer, na horizontal, a distância de 400 p é s não é o mesmo tempo que a bola leva subindo? É SIM! Então, da componente horizontal, vamos isolar o tempo t :

t = 400 v 0 c o s ⁡ ( θ )

E agora substituir na componente vertical essa quantidade. Daí vamos encontrar o valor da posição vertical da bola quando chega na cerca e, sabendo disso, podemos aí dizer se foi home run ou não, sacou?

Beleza! Vamos às substituições! Pegando a componente vertical da posição em função do tempo:

y = y 0 + v 0 s e n ( θ ) t - g t 2 2

E substituindo pelo tempo t = 400 v 0 c o s ⁡ ( θ ) temos:

y = y 0 + v 0 s e n θ ⋅ 400 v 0 c o s ⁡ ( θ ) - g 2   400 v 0 cos ⁡ θ 2

E simplificando um pouco teremos:

y = y 0 + 400 ⋅ t g θ - g 2 400 v 0 cos ⁡ θ 2

Agora dá uma espiada no passo 2 e resgata de lá os valores de y 0 , θ , v 0   e   g :

y = 3 + 400 ⋅ t g 50 ° - 32 2 400 74 2

E jogando tudo isso na calculadora vamos ter:

y = 12,20 p é s

Ou seja, foi sim home run! A bola está acima da cerca (posição vertical) quando passa na posição horizontal de 400 p é s .

Certo? Vamos pra próxima?

Resposta

Foi home run

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