Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.3 - Ex. 64
Mostre que a hélice circular , onde são constantes positivas, tem curvatura e torção constante. (Use o resultado do exercício )
Passo 1
Olá, tudo bem? Pra calcular a cuvatura e a torção de uma curva em função do parâmetro , vamos relembrar como são as suas respectivas fórmulas.
Para a curvatura:
E para a torção:
Então nosso primeiro passo vai ser determinar quem é nosso vetor posição e as derivadas temporais:
Certo até aqui?
Passo 2
O próximo passo é calcular as quantidades .
Começando pelo produto vetorial:
Agora calculando
E também:
E por último:
Passo 3
Agora que sabemos os resultados do passo podemos calcular o produto vetorial que aparece na fórmula da torção, que é a única coisa que falta a ser calculada:
Passo 4
Pronto! Agora vamos resgatar as fórmulas da curvatura e da torção do passo e substituir com as quantidades que calculamos nos passos anteriores.
Pra curvatura
Ou seja, constante para o parâmetro .
E para a torção
Ou seja, a torção também é constante para o parâmetro .
Assim temos curvatura e torção
Beleza?
Vamos pra próxima?
Resposta
e torção