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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 17

Mostre que a parábola y = a x 2 ,   a ≠ 0 , tem sua maior curvatura em seu vértice e não possui curvatura mínima. (Nota: uma vez que a curvatura de uma curva permanece a mesma se a curva é trasladada ou girada, esse resultado é verdadeiro para qualquer parábola.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Do exemplo 5a, nós temos que

κ = f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 / 2

Nós temos que f x = a x 2 , fazendo a derivada de f ( x ) com respeito a x , nós temos que

f ' x = 2 a x   e   f ' ' x = 2 a

Portanto, o termo κ se torna

k x = 2 a 1 + 2 a x 2 3 2 = 2 a 1 + 4 a 2 x 2 3 2

Diferenciando a equação acima em relação a x , obtemos

d κ d x = d d x 2 a 1 + 4 a 2 x 2 3 2 = - 24 a 3 x 1 + 4 a 2 x 2 5 / 2

Se d κ d x = 0 , portanto x = 0 . Então, x = 0 é o ponto e representa o máximo ou mínimo.

Passo 2

Diferenciando a equação acima em relação a x, obtemos

d 2 κ d x 2 = d d x - 24 a 3 x 1 + 4 a 2 x 2 5 2

Com isso, nós temos que

d 2 κ d x 2 = - 24 a 3 1 + 4 a 2 x 2 5 2 - 20 a 2 x 2 4 a 2 x 2 + 1 3 2 1 + 4 a 2 x 2 5

Fazendo x = 0 , nós temos que

d 2 κ d x 2 = - 24 a 3 < 0

Então o máximo ocorre em x = 0 , y = 0 . Assim, y = a x 2 tem a maior curvatura em ( 0,0 ) e não tem curvatura mínima.

Resposta

y = a x 2   t e m   a   m a i o r   c u r v a t u r a   e m   0,0   e   n ã o   h á   m í n i m o   n a   c u r v a t u r a

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