Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.5 - Ex. 32
Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.
32. Parábola, foco , diretriz .
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que encontremos a equação para uma cônica.
Para isso, ele nos dá três condições:
- Trata-se de uma parábola;
- Tem diretriz em .
- Tem foco em .
Para resolvermos isso, temos que saber do que trata-se uma parábola.
Bom... seja a seguinte parábola:
- O ponto é chamado de foco e determina essa figura;
- A reta é chamada de diretriz da parábola. A distância entre qualquer ponto da parábola e a sua diretriz é igual à distância entre esse mesmo ponto da parábola e o seu foco;
- O vértice da parábola é o ponto mais próximo de sua diretriz.
Assim, temos a equação padrão da parábola:
Esse valor determina a distância focal da parábola, bem como a direção em que a parábola se abre.
Agora que já sabemos os conceitos, vamos aplicar!! 😉
Passo 2
Vamos pensar um pouquinho: o enunciado dá para a gente a diretriz da parábola e o foco.
Como eles são equidistantes do vértice da parábola, o vértice se encontra em .
Podemos concluir que a parábola está transladada em relação à origem.
Assim, para obtermos , precisamos somar à equação padrão da diretriz:
O valor da translação em :
Assim, o valor de será:
Passo 3
Como que é o eixo que corresponde à diretriz, ela será uma reta horizontal.
Llogo, sabemos que a parábola terá concavidade para cima ou para baixo.
Com isso, lembrando que a equação padrão deve ter a seguinte forma:
E pela translação em e substituindo , obtemos: