Encontre T, N, e, κ para as curvas espaciais nos Exercícios 9-16.

14. r(t) = cos^3(t)i + sen^3(t)k, 0 < t < π/2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O procedimento neste tipo de tarefa é o mesmo para curvas planas e espaciais. A maior parte é cálculo simples, mas é preciso ter cuidado com as condições (se houver) dadas na tarefa. Recebemos a curva r ( t ) e precisamos encontrar o vetor tangente unitário T , o vetor normal unitário N e a curvatura κ em qualquer ponto t . Primeiro encontramos r ' ( t ) . Depois disso, aplicamos as seguintes relações. O vetor tangente unitário é simplesmente uma derivada normalizada da equação da curva:

T = r ' ( t ) r ' ( t )

Para prosseguir com o cálculo, encontramos a derivada do vetor tangente unitário T ' e depois o normalizamos. A partir daí, desde:

T ' = d T d t

Encontramos o vetor normal unitário que é dado como:

N = T ' T '

Na etapa final dos cálculos, encontramos a curvatura que é definida como:

κ = T ' r '

Passo 2

A curva que nós estamos considerando é

r t = cos 3 ⁡ t i + ( sin 3 ⁡ t ) j

A derivada da curva é igual a

r ' t = 3 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t i - 3 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t j

A norma (medida) da derivada pode ser dada como

r ' = 9 cos 4 ⁡ t sen 2 ⁡ t + 9 sen 4 ⁡ t cos 2 ⁡ t = 3 sen ⁡ t cos ⁡ t

Com isso podemos calcular o vetor tangente:

T = r ' r ' = - cos ⁡ t i + sen ⁡ t j

Passo 3

A próxima etapa em nossos cálculos exige que obtenhamos uma derivada do vetor tangente. Neste caso é igual a:

T ' = sen ⁡ t i + cos ⁡ t j

O novo vetor não precisa ser o vetor unitário, então calculamos sua norma:

T ' = 1

O vetor normal unitário é então dado como:

N = T ' T ' = sen ⁡ t i + cos ⁡ t j

Finalmente, a curvatura é igual a:

κ = T ' r ' = 1 3 sen ⁡ t cos ⁡ t

Resposta

T = - cos ⁡ t i + sen ⁡ t j

N = sen ⁡ t i + cos ⁡ t j

κ = 1 3 sen ⁡ t cos ⁡ t

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