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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.Problemas Variados - Ex. 22

(d y)/(d x) = (x^2 - 1)/(y^2 + 1) , y (- 1) = 1

Passo 1

Primeiro verificamos se nossa solução é exata. Se não for, vamos calcular o fator integrante e calcular nossa solução.

Para verificar se nossa função dada por M + N y^' = 0 é exata, tomamos

(del N)/(del x) - (del M)/(del y)

E verificamos se seu valor é nulo

Passo 2

Primeiro vamos manipular a nossa equação e verificar se ela é exata. Nossa equação pode ser escrita como

(y^2 + 1) d y = (x^2 - 1) d x

Pode se ver que, nossa função é exata, visto que foi possível aplicar a separação de variáveis.

Neste ponto podemos partir para resolver nossa equação diferencial e achar nossa solução.

Passo 3

Agora queremos resolver nosso problema achando uma solução.

Integrando em amnos os lados

int ( y^2 + 1 ) d y = int (x^2 - 1) d x

Assim temos

(y^3)/(3) + y = (x^3)/(3) - x + c

O que nos faz ficar com

(y^3)/(3) - (x^3)/(3) + y + x = c

Agora resolvendo o problema de valor inicial.

((1)^3)/(3) - ((- 1)^3)/(3) + (1) + (- 1) = c = (2)/(3)

Assim podemmultiplicar tudo por 3 e

y^3 - x^3 + 3 y + 3 x = 2

Resposta

y^3 - x^3 + 3 y + 3 x = 2

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