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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 21

21. y^((8)) + 8 y^((4)) + 16 y = 0

Passo 1

Ora! Aqui temos que resolver uma EDO homogênea linear a coeficientes constantes, porém ela é de ordem superior. Mas vimos que pouca coisa muda né? Basicamente é só mais trabalho mesmo haha.

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

y^((8)) + 8 y^((4)) + 16 y = 0 ->

r^8 + 8 r^4 + 16 = 0

Veja que graças à propriedade:

(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2

Podemos escrever essa equação dessa forma aqui:

(r^4 + 4)^2 = 0

Então as raízes multiplicidade 2 e elas serão:

r^4 + 4 = 0 ->

r^4 = - 4 ->

r = (- 4)^(1 // 4)

Então temos que encontrar essas raízes aí que serão complexas!

Passo 2

Primeiro, devemos transformar - 4 em um número complexo:

- 4 = 4 (cos (pi) + i sin (pi)) ->

Afinal cos (pi) = - 1 e sin (pi) = 0 . Como qualquer múltiplo m de 2 pi é também 1 e 0 para o cosseno e seno...

- 4 = 4 (cos (pi + 2 m pi) + i sin (pi + 2 m pi)) ->

Pela notação de Euler então...

- 4 = 4 e^((pi + 2 m pi) i)

Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de (- 4)^(1 // 4) , então...

(- 4)^((1)/(4)) = (4)^(1 // 4) (e^((pi + 2 m pi) i))^((1)/(4)) ->

(- 4)^((1)/(4)) = sqrt(2) e^(((pi)/(4) + (pi)/(2) m) i)

Transformando para cosseno e seno então...

(- 4)^((1)/(4)) = sqrt(2) [cos ((pi)/(4) + (pi)/(2) m) + i sin ((pi)/(4) + (pi)/(2) m)]

Fazendo então m = 0 , m = 1 e m = 2 , m = 3 ...

  • Para o m = 0 :

    • sqrt(2) [cos ((pi)/(4)) + i sin ((pi)/(4))] =

    sqrt(2) [(sqrt(2))/(2) + (sqrt(2))/(2) i] =

    1 + i

  • Para m = 1 ...

    • sqrt(2) [cos ((pi)/(4) + (pi)/(2)) + i sin ((pi)/(2))] =

    sqrt(2) [- (sqrt(2))/(2) + (sqrt(2))/(2) i] =

    - 1 + i

  • Para m = 2 ...

    • sqrt(2) [cos ((pi)/(4) + pi) + i sin ((pi)/(4) + pi)] =

    sqrt(2) [cos ((5 pi)/(4)) + i sin ((5 pi)/(4))] =

    sqrt(2) [- (sqrt(2))/(2) - (sqrt(2))/(2) i] =

    - 1 - i

  • Para m = 3 ...

sqrt(2) [cos ((pi)/(4) + (3 pi)/(2)) + i sin ((pi)/(4) + (3 pi)/(2))] =

sqrt(2) [cos ((7 pi)/(4)) + i sin ((7 pi)/(4))] =

sqrt(2) [(sqrt(2))/(2) - (sqrt(2))/(2) i] =

1 - i

Então essas são as raízes complexas...

r = 1 +- i e r = - 1 +- i

Cada uma com multiplicidade 2 (se repetem).

Passo 3

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

  • Para r = 1 +- i como ele é imaginário...

    • y_1 = e^t (c_1 sin (t) + c_2 cos (t))

  • Para r = 1 +- i (afinal ele se repete). Lembre-se de colocar o t quando isso acontece...

    • y_2 = t e^t (c_1 sin (t) + c_2 cos (t))

  • Para r = - 1 +- i como ele é imaginário...

    • y_3 = e^(- t) (c_1 sin (t) + c_2 cos (t))

  • Para r = - 1 +- i (afinal ele se repete também)...

y_4 = t e^(- t) (c_1 sin (t) + c_2 cos (t))

A solução geral então pode ser dada por...

y = y_1 + y_2 + y_3 + y_4 ->

y = e^t (c_1 sin (t) + c_2 cos (t)) + t e^t (c_1 sin (t) + c_2 cos (t)) + e^(- t) (c_1 sin (t) + c_2 cos (t)) + t e^(- t) (c_1 sin (t) + c_2 cos (t))

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = e^t (c_1 sin (t) + c_2 cos (t)) + t e^t (c_1 sin (t) + c_2 cos (t)) + e^(- t) (c_1 sin (t) + c_2 cos (t)) + t e^(- t) (c_1 sin (t) + c_2 cos (t))

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