Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

y ' ' - 8 y = 0

Passo 1

E aíí, vamos resolver essa equação diferencial!!

Temos uma equação diferencial de segunda ordem, então podemos usar a equação auxiliar (3) dessa seção do seu livro:

a m 2 + b m + c = 0

1) Se tivermos duas raízes reais e distintas ( m 1 e m 2 ), as soluções da EDO serão y 1 = e m 1 x e y 2 = e m 2 x , e aí a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x

2) Se tivermos duas raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos duas raízes complexas conjugadas (quando o delta é negativo sabe?), se m 1 = α + i β e m 2 = α - i β , a solução geral é y = C 1 . e α + i . β x + C 2 . e α - i . β x

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' - 8 y = 0

Assim:

m 2 - 8 = 0

Vamos resolver essa equação

Isolando o m ² :

m 2 = 8

m = ± 8

Fatorando a raíz quadrada de 8:

m = ± 2 2

m 1 = 2 2                 m 2 = - 2 2

Temos duas soluções reais, então usando o primeiro caso lá do passo 1, nossa solução geral é:

y = c 1 . e 2 2 . x + c 2 . e - 2 2 x

E é isso

Resposta

y = c 1 . e 2 2 . x + c 2 . e - 2 2 x

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1. Achar a solução geral de cada um das seguintes equações:a) y ' ' + y ' - 6 y = 0 b) D 2 + 2 D - 15 y = 0 c) D 3 + D 2 - 2 D y = 0 d) D 3 + 2 D 2 - 5 D - 6 y = 0 e) D 4 - 6 D 3 + 12 D 2 - 8 D y = 0
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5. a) Provar que as funções s e nt e cos ⁡ t são ambas soluções de y ' ' + y = 0 b) Provar também que s e nt e cos ⁡ t são linearmente independentes.c) Achar a solução geral de y ' ' + y = 0 d) Achar