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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 28-b

28. Resolva a equação

y ' = t y 4   –   y 1 + t

y 0 = y 0 > 0

((a) Determine o comportamento da solução quando t → ∞.(b) Se y 0   =   2 , encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,99.(c) Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo 3,99 y t = 2.

Passo 1

b) Já temos um ótimo início. Descobrimos o comportamento da nossa função. E a equação solução

y y - 4 = e 4 t ⋅ e 4 C t + 1

Termos que agora descobrir o valor da nossa constante arbitraria sabendo que

y 0 = 2

E, também, descobrir o valor de t para que

y t = 3,99

Passo 2

Vamos usar os dados de contorno e descobrir C

y y - 4 = e 4 t ⋅ e 4 C t + 1

2 2 - 4 = e 4 C 1

e 4 C = 1

Uma exponenciação só retorna valor 1, se a parte elevada for zero, logo

C = 0

Logo nossa equação se resume a

y y - 4 = e 4 t t + 1

Passo 3

Vamos agora descobrir o valor de t onde y = 3,99

y y - 4 = e 4 t t + 1

3,99 3,99 - 4 = e 4 t t + 1

399 =   e 4 t t + 1  

Infelizmente, pelas ferramentas atuais teremos que parar neste ponto, porque não podemos mais avançar.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

399 =   e 4 t t + 1  

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