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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 20

20. y^((4)) - 8 y^' = 0

Passo 1

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

y^((4)) - 8 y^' = 0 ->

r^4 - 8 r = 0 ->

r (r^3 - 8) = 0

Dessa equação, já podemos tirar a primeira raiz:

r_1 = 0

Agora se quem for 0 for o termo do parênteses:

(r^3 - 8) = 0 ->

r^3 = 8 ->

r = (8)^(1 // 3)

Certamente teremos 3 raízes (2 serão complexas)! Vamos calculá-las?

Passo 2

Primeiro, devemos transformar 8 em um número complexo:

8 = 8 (cos (2 pi) + i sin (2 pi)) ->

Afinal cos (2 pi) = 1 e sin (2 pi) = 0 . Como qualquer múltiplo m de 2 pi é também 1 e 0 para o cosseno e seno...

8 = 8 (cos (2 pi m) + i sin (2 pi m)) ->

Pela notação de Euler então...

8 = 8 e^(2 pi m)

Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de 8^(1 // 3) , então...

8^((1)/(3)) = (8 e^(2 pi m i))^((1)/(3)) ->

8^((1)/(3)) = root(3)(8) e^((2 pi m)/(3) i) ->

Transformando para cosseno e seno então...

8^((1)/(3)) = 2 [cos ((2 pi)/(3) m) + i sin ((2 pi)/(3) m)]

Fazendo então m = 0 , m = 1 e m = 2 , m = 3 ...

  • Para o m = 0 :

    • 2 [cos (0) + i sin (0)] =

    2

  • Para m = 1 ...

    • 2 [cos ((2 pi)/(3)) + i sin ((2 pi)/(3))]

    Calculando esses senos e cossenos...

    2 [- (1)/(2) + (sqrt(3))/(2) i]

  • Para m = 2 ...

2 [cos ((4 pi)/(3)) + i sin ((4 pi)/(3))]

Calculando esses senos e cossenos...

2 [- (1)/(2) - (sqrt(3))/(2) i]

Então essas são as raízes são...

r_2 = 2 ; r_3 = - 1 + sqrt(3) i e r_4 = - 1 - sqrt(3) i

Passo 3

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

  • Para r_1 = 0 como ele é real...

    • y_1 = e^(r_1 t) = 1

  • Para r_2 = 1 como ele é real...

    • y_2 = e^(r_2 t) = e^(2 t)

  • Para r_3 = - 1 + sqrt(3) i como ele é imaginário (a + b i) ...

    • y_3 = e^(a t) sin (b t) = e^(- t) sin (sqrt(3) t)

  • Para r_4 = - 1 - sqrt(3) i como ele é imaginário (a - b i) ...

y_4 = e^(a t) cos (b t) = e^(- t) cos (sqrt(3) t)

A solução geral então pode ser dada por...

y = c_1 y_1 + c_2 y_2 + c_3 y_3 + c_4 y_4

y = c_1 + c_2 e^(2 t) + c_3 e^(- t) sin (sqrt(3) t) + c_4 e^(- t) cos (sqrt(3) t)

Resposta

y = c_1 + c_2 e^(2 t) + c_3 e^(- t) sin (sqrt(3) t) + c_4 e^(- t) cos (sqrt(3) t)

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