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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 28-c

28. Resolva a equação

y ' = t y 4   –   y 1 + t

y 0 = y 0 > 0

((a) Determine o comportamento da solução quando t → ∞.(b) Se y0 = 2, encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,99.(c) Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo 3,99 y t = 2.

Passo 1

c) Já temos um ótimo início. Descobrimos o comportamento da nossa função. E a equação solução

y y - 4 = e 4 t ⋅ e 4 C t + 1

Termos que agora descobrir o valor da nossa constante arbitraria sabendo que

t = 2

E, também, que nosso y está no intervalo

3,99   <   y   < 4,01  

Passo 2

Vamos usar os dados de contorno e descobrir C

y y - 4 = e 4 t ⋅ e 4 C t + 1

y y - 4 = e 4 ⋅ 2 ⋅ e 4 C 2 + 1

y y - 4 = e 8 + 4 C 3

Como C é uma constante arbitraria, para facilitar, podemos escrever essa função como

y y - 4 = C '

Podemos arrumar essa equação para ela ficar mais bonita

y y - 4 = C '

y - y C ' =   - 4 C '

y = - 4 C ' 1 - C '  

Sabemos que 3,99 y

3,99 < - 4 C ' 1 - C ' < 4,01

Podemos então ajeitar essa equação parar que tenhamos um intervalo de valores para a constante arbitraria, usando frações parciais podemos fazer

3,99 <   4 + 4 C ' - 1 < 4,01

- 0,01 < 4 C ' - 1 < 0 , 01

- 0,01 4 < 1 C ' - 1 < 0,01 4

- 4 0,01 > C ' - 1 > 4 0,01

- 400 + 1 > C ' > 400 + 1

Logo podemos dizer que

C ' ∈ - 399,401

Só lembrando que

C ' =   e 8 + 4 C 3

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

C ' ∈ - 399,401

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