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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 19

19. y^((5)) - 3 y^((4)) + 3 y^(' ' ') - 3 y^(' ') + 2 y^' = 0

Passo 1

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

y^((5)) - 3 y^((4)) + 3 y^(' ' ') - 3 y^(' ') + 2 y^' = 0 ->

r^5 - 3 r^4 + 3 r^3 - 3 r^2 + 2 r = 0 ->

r (r^4 - 3 r^3 + 3 r^2 - 3 r + 2) = 0 ->

Dessa equação, já podemos tirar a primeira raiz:

r_1 = 0

Já desse termo dos parênteses podemos tirar as demais:

r^4 - 3 r^3 + 3 r^2 - 3 r + 2 = 0

Observe que 1 é raiz dessa equação:

1^4 - 3 (1)^3 + 3 (1)^2 - 3 + 2 = 0 ->

0 = 0

Então podemos fatorar usando Briot Rufini:

Onde os coeficientes em vermelho são os coeficientes da equação de grau 4 que queremos reduzir e 1 é o sua raiz. Então, aplicando o método...

Então os coeficientes em azul são os coeficientes da equação reduzida:

r^3 - 2 r^2 + r - 2 = 0

Então...

r^4 - 3 r^3 + 3 r^2 - 3 r + 2 = 0 ->

(r - 1) (r^3 - 2 r^2 + r - 2) = 0

A segunda raiz que tiramos daí é...

r_2 = 1

E para as demais:

r^3 - 2 r^2 + r - 2 = 0

Podemos colocar em evidência...

r^2 (r - 2) + (r - 2) = 0 ->

(r - 2) (r^2 + 1) = 0

De onde tiramos a terceira raiz...

r_3 = 2

E as demais...

r^2 + 1 = 0 ->

r = +- i

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

  • Para r_1 = 0 como ele é real...

    • y_1 = e^(r_1 t) = 1

  • Para r_2 = 1 ...

    • y_2 = e^(r_2 t) = e^t

  • Para r_3 = 2 como ele é real...

    • y_3 = e^(r_3 t) = e^(2 t)

  • Para r_4 = i como ele é imaginário (a + b i) ...

    • y_4 = e^(a t) sin (b t) = e^0 sin (1 t)

  • Para r_5 = - i como ele é imaginário (a - b i) ...

y_5 = e^(a t) cos (b t) = e^0 cos (1 t)

A solução geral então pode ser dada por...

y = c_1 y_1 + c_2 y_2 + c_3 y_3 + c_4 y_4 + c_5 y_5 + c_6 y_6

y = c_1 + c_2 e^t + c_3 e^(2 t) + c_4 sin t + c_5 cos t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c_1 + c_2 e^t + c_3 e^(2 t) + c_4 sin t + c_5 cos t

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