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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.3 - Ex. 29

Cada um dos Exercícios 15-30 dá uma função f ( x ) e números L , x 0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x 0 em que a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira. Dê então um valor para δ >   0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < x - x 0 < δ , a desigualdade f x - L < ϵ seja verdadeira.

29-

f x = m x + b       ,   m > 0   ,   L = m 2 + b ,     x 0 = 1 2 ,       ϵ = c > 0

Passo 1

Substituindo os valores em f x - L < ϵ temos:

m x + b - m 2 - b < c

Desmembrando a equação temos:

m x - m 2 < c

- m x + m 2 < c

Passo 2

Resolvendo a primeira equação temos:

m x < c + m 2

x < 1 2 + c m

Resolvendo a segunda equação temos:

- m x < c - m 2

m x > m 2 - c

x > 1 2 - c m

Logo nosso intervalo é:

1 2 - c m < x < 1 2 + c m

Passo 3

Agora encontrando o valor de δ temos:

1 2 - c m - 1 2 < δ

1 2 + c m - 1 2 < δ

Logo:

δ = c m

Resposta

1 2 - c m , 1 2 + c m

δ = c m

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Prove que lim x → a ⁡ x ² = a ² ² ², se a for qualquer número negativo.