Cada um dos Exercícios 15-30 dá uma função f(x) e números L , x0 e ϵ > 0 . Em cada caso, determine um intervalo aberto em torno de x0 em que a desigualdade | f(x) - L | < epsilon seja verdadeira. Dê então um valor para δ > 0 tal que, para todo x satisfazendo 0 < |x - x0| < δ , a desigualdade | f(x) - L | < epsilon seja verdadeira.

29-

f(x) = mx + b, m > 0, L = m/2 + b, x₀ = 1/2, ε = c > 0

Passo 1

Substituindo os valores em f x - L < ϵ temos:

m x + b - m 2 - b < c

Desmembrando a equação temos:

m x - m 2 < c

- m x + m 2 < c

Passo 2

Resolvendo a primeira equação temos:

m x < c + m 2

x < 1 2 + c m

Resolvendo a segunda equação temos:

- m x < c - m 2

m x > m 2 - c

x > 1 2 - c m

Logo nosso intervalo é:

1 2 - c m < x < 1 2 + c m

Passo 3

Agora encontrando o valor de δ temos:

1 2 - c m - 1 2 < δ

1 2 + c m - 1 2 < δ

Logo:

δ = c m

Resposta

1 2 - c m , 1 2 + c m

δ = c m

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Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.37) lim x → 5 ⁡ x ² - 3 x = 1 0 ²
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.35) lim x → 2 ⁡ x ² + 2 x - 1 = 7 ²
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.36) lim x → - 3 ⁡ x ² = 9 ²
Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.34) lim x → 3 ⁡ x ² - 9 x - 3 = 6 ²
Prove que underset(x - a)(lim) x ² = a ² ² ², se a for qualquer número negativo.