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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 25

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int se n^5 ((x)/(3)) cos ((x)/(3)) d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de x^5 com sen ((x)/(3)) , então vamos fazer

u = sen ((x)/(3))

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = sen ((x)/(3)) -> d u = (sen ((x)/(3)))^' d x = (((1)/(3)) cos ((x)/(3))) d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int sen^5 ((x)/(3)) cos ((x)/(3)) d x

O primeiro termo é o próprio u elevado a 5 . Então,

int (u)^5 cos ((x)/(3)) d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo:

d u = (((1)/(3)) cos ((x)/(3))) d x -> 3 d u = (3) (((1)/(3)) cos ((x)/(3))) d x -> 3 d u = cos ((x)/(3)) d x

Agora podemos substituir na integral :D

int (u)^5 cos ((x)/(3)) d x = int u^5 ( 3 d u ) = 3 int u^5 d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

3 int u^5 d u = (3) ((u^6)/(6)) + C = (u^6)/(2) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int sen^5 ((x)/(3)) cos ((x)/(3)) d x = ((sen ((x)/(3)))^6)/(2) + C

Resposta

((sen ((x)/(3)))^6)/(2) + C

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Verifique a fórmula de integração:int x s e c h^(- 1) x d x = (x^2)/(2) sech^(- 1) x - (1)/(2) sqrt(1 - x^2) + C
Calcule a integral:int s e n h (x)/(5) d x
Calcule a integral:int sech^2 (x - (1)/(2)) d x
Calcule a integral:int s e n h 2 x d x
Calcule a integral:int c o s s e c h^2 (5 - x) d x