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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 73

Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

73-

y ' = cos ⁡ t

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Fazendo y ' = 0 para encontrarmos os pontos críticos da função nós temos:

cos ⁡ t = 0

No intervalo de 0 a 2 π o cosseno só poderá ser 0 nos pontos de π 2 e 3 π 2

t = π 2 ;         t = 3 π 2

Passo 2

Derivando agora a equação para testarmos os pontos que encontramos e vermos seus pontos de inflexão nós teremos:

y ' ' = - sin ⁡ t

Passo 3

Testando os pontos encontrados no passo 1 temos:

Para t = π 2

y ' ' π 2 = - sin ⁡ π 2 = - 1 → n e g a t i v o

Logo π 2 é um ponto de máximo local.

Para t = 3 π 2

y ' ' 3 π 2 = - sin ⁡ 3 π 2 = 1 → p o s i t i v o

Logo 3 π 2 é um ponto de mínimo local

Agora fazendo y ' ' = 0 para encontrar os pontos de inflexão.

- sin ⁡ t = 0

No intervalo de 0 a 2 π   que inclui os pontos 0 e 2 π nós temos y ' ' = 0 em:

t = 0 ;     t = π ;     t = 2 π

Passo 4

Organizando nossos intervalos:

Como não há uma mudança de concavidade antes de 0 e depois de 2 π então não se considera esses pontos como pontos de inflexão. Porém eles seriam se a função não fosse limitada.

Pontos de teste em radianos: 1, 2, 4, 5

Resposta

y ' ' = - sin ⁡ t

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