Enunciado

Cada limite representa a derivada de certa função f em certo número a . Diga quem é f e a em cada caso.

lim h → 0 ⁡ 1 + h 10 - 1 h

Passo 1

E aí! tudo certinho? 😊

Nessa questão aqui, nós é dado um limite que representa a derivada de uma função em certo ponto.

O que vamos ter que fazer é comparar esse limite com a fórmula da derivada em um ponto a qualquer, que é essa aqui:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

A forma mais simples de fazer isso e encontrar quem é f ( a + h ) no limite do enunciado. Vou igualar o nosso limite com a fórmula:

lim h → 0 ⁡ 1 + h 10 - 1 h = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

A primeira coisa que a gente pode pensar é que, se esses limites são iguais, então:

f a + h = 1 + h 10

f a = 1

E para resolver, é mais ou menos isso que temos que achar mesmo! Temos que imaginar que função f e ponto a satisfazem essas condições. Quando tivermos um palpite bom, testamos e vemos se funciona mesmo.

Veja só! 😁

Passo 2

Agora, temos que achar os nossos palpites! Para isso, não tem beeeem um método fixo: é mais olhar com calma, ver quem se encaixa e testar para ver se ta certo.

Olhando a expressão de f ( a + h ) , o primeiro palpite que podemos ter é f x = x 10 e a = 1 . Supondo que isso é verdade, vamos escrever quem seria f ( 1 ) , f ( 1 + h ) e jogar na expressão da derivada no ponto:

f 1 = 1 10 = 1

f 1 + h = 1 + h 10

Agora, jogando na expressão da derivada:

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ 1 + h 10 - 1 h

Pronto! Sabemos que f x = x 10 e a = 1 é uma solução para o nosso problema!

Legal, né? 😁

Passo 3

A questão poderia acabar no passo 2 já – nos é dito para falarmos quem é f e quem é a . Acontece que, nesse caso a gente tem uma outra possível solução: considerar que o ponto vai ser a = 0 e f ( x ) = 1 + x 2 . Escrevendo quem seria f ( 0 ) e f ( 0 + h ) , teremos:

f 0 = 1 + 0 10 = 1 10 = 1

f 0 + h = 1 + 0 + h 10 = 1 + h 10

Jogando na expressão da nossa derivada, vamos ter:

f ' 0 = lim h → 0 ⁡ 1 + h 10 - 1 h

Ou seja: se o seu palpite foi a = 0 e f x = 1 + x 10 , ta tudo certinho também! ;)

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 👀

Resposta

f x = x 10   e   a = 1

ou

f x = 1 + x 10   e   a = 0

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