Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.3 - Ex. 20
Demonstre, pela definição de derivada, que se então
Passo 1
E aí! tudo certinho?
O enunciado pede que usemos a definição de derivada para mostrar que a derivada de
É dada por
Ou seja
Parece complicado?
Relembrando a definição de derivada de uma função:
Então vamos substituir na definição e expressar o resultado.
Veja só!
Passo 2
Usando que temos que
Vamos usar as identidades trigonométricas para reescrever
Ou seja...
Substituindo em
Vamos colocar em evidência...
Sabemos que o limite da soma é igual a soma dos limites, ou seja
Colocamos e para fora do limite, já que o limite é em função de
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Vamos calcular um limite de cada vez...
Começando pelo do cosseno
Se aplicarmos , vamos cair em uma indeterminação , então temos que aplicar algum truque para mascarar esse problema.
Podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador... veja só
Se , então .
Podemos reescrever esse limite como
Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que
Logo
Bacana, não é?
Passo 4
Agora, como já vimos que
Substituindo tudo que encontramos em , vamos obter
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!