Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 55
Use a definição de derivada para mostrar que
Passo 1
Fala aí, pessoal. Tudo certinho com vocês?
Bom essa questão é bem direta. Ela pede pra gente usar a definição de derivada pra provar esse limites aqui:
E pra isso precisaremos relembrar qual é a definição da derivada. Ela é essa aqui:
Veja, que tomaremos o limite da função para um valor de tendendo a , nessa relação.
Então vem comigo ver como faremos isso!
Passo 2
Nosso limites é:
Suponhamos que
E
Então, temos que
Agora vamos calcular a derivada de pela definição, então temos que
Que é justamente o limite que devemos calcular.
Note que este limite é o mesmo que calcular a derivada de e avalia-la no ponto , pois estávamos calculando a derivada pela definição.
Passo 3
Então, para provar, basta calcularmos , para isso, vamos calcular , sabemos que
então
Fazendo para calcular , temos que
E assim, conseguimos provar que,
Ou podemos escrever somente
Resposta
Demonstração.