Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.8 - Ex. 26

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos que calcular a derivada da função

Pela definição e determinar o domínio de e .

Tem ideia de como fazemos isso? 😬

Vamos lá, para calcular pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:

Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá, lembrando que

Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!

Passo 2

Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

Agora vamos fazer algumas manipulações, primeiro vamos separar o que tá sozinho no numerador, e o que sobrar vamos multiplicar pelo seu conjugado, já que temos uma raíz alí no meio, vamos lá, com calma:

Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que tende:

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

A função tem domínio em , pois como temos uma raíz, não pode assumir valores negativo, o resto ta liberado.

Já com a derivada da função, , temos o domínio em , aqui além de também termos a raíz tendo a mesma limitação de , temos no denominador, o que nos impede do valor assumir .