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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.1 - Ex. 6

Se uma pedra for jogada para cima no planeta Marte com velocidade de 10 m/s, sua altura (em metros) t segundos mais tarde é dada por y = 10 t - 1,86 t 2 .

  1. Encontre a velocidade média entre os intervalos de tempo dados:
    1. [1,2]
    2. [1;1,5]
    3. [1;1,1]
    4. [1;1,01]
    5. [1;1,001]
  2. Estime a velocidade instantânea quando t=1.

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... o enunciado nos dá a função y t que representa a altura em função do tempo do lançamento vertical de uma pedra em Marte com velocidade inicial de 10   m / s :

y = 10 t - 1,86 t 2

Queremos encontrar a velocidade média entre os seguintes intervalos de tempo:

  1. [1,2]
  2. [1;1,5]
  3. [1;1,1]
  4. [1;1,01]
  5. [1;1,001]

Para isso, temos que saber que a velocidade média V m é dada pela razão entre o espaço percorrido Δ S e o intervalo de tempo Δ t :

V m = ∆ S ∆ t

Lembrando que a variação Δ X é sempre um X f i n a l - X i n i c i a l (nesse nosso caso, o espaço S ). Certinho?

O enunciado também nos pede para estimar a velocidade instantânea quando t = 1 .

Para isso, utilizaremos o resultado da letra a) (pois esse resultado terá uma variável dependente) e a gente aplica o limite quando o tempo tende a zero!!

E aí?? Bora lá aplicar?? 😉

Passo 2

(a) Agora vamos aplicar o plano que montamos no passo 1.

Item ( i )

Como y 1 = 10 - 1,86 e y 2 = 20 - 1,86 * 4 , temos:

V m = ∆ S ∆ t = y 2 - y 1 2 - 1 ∴

V m = 20 - 7,44 - ( 10 - 1,86 ) 1 = 4,42   m / s  

Passo 3

Item ( i i )

Como y 1 = 10 - 1,86 e y 1,5 = 15 - 1,86 * ( 2,25 ) , temos:

V m = ∆ S ∆ t = y 1,5 - y 1 1,5 - 1 ∴

V m = 15 - 4,185 - ( 10 - 1,86 ) 0,5 = 5,35   m / s  

Passo 4

Item ( i i i )

Como y 1 = 10 - 1,86 e y 1,1 = 11 - 1,86 * ( 1,21 ) , temos:

V m = ∆ S ∆ t = y 1,1 - y 1 1,1 - 1 ∴

V m = 11 - 2,2506 - ( 10 - 1,86 ) 0,1 = 6,094   m / s

Passo 5

Item ( i v )

Como y 1 = 10 - 1,86 e y 1,01 = 10,1 - 1,86 * ( 1,0201 ) , temos:

V m = ∆ S ∆ t = y 1,01 - y 1 1,01 - 1 ∴

V m = 10,1 - 1,897386 - ( 10 - 1,86 ) 0,01 = 6,2614   m / s

Passo 6

Item ( v )

Como y 1 = 10 - 1,86 e y 1,001 = 10,1 - 1,86 * ( 1,002001 ) , temos:

V m = ∆ S ∆ t = y 1,001 - y 1 1,001 - 1 ∴

V m = 10,01 - 1,8637218 - ( 10 - 1,86 ) 0,001 = 6,2782   m / s

Passo 7

(b)

A velocidade média é dada por:

V m = ∆ S ∆ t ∴

V m = y t + Δ t - y t t + Δ t - t

Utilizando a equação do espaço que foi dada no enunciado, temos:

V m = 10 t + Δ t - 1.86 t + Δ t 2 - 10 t - 1.86 t 2 Δ t ∴

V m = 10 t + 10 Δ t - 1.86 t 2 + 2 t Δ t + Δ t 2 - 10 t + 1.86 t 2 Δ t ∴

V m = 10 t + 10 Δ t - 1.86 t 2 - 3.72 t Δ t - 1.86 Δ t 2 - 10 t + 1.86 t 2 Δ t ∴

V m = 10 Δ t - 3.72 t Δ t - 1.86 Δ t 2 Δ t ∴

V m = Δ t 10 - 3.72 t - 1.86 Δ t Δ t ∴

V m = 10 - 3.72 t - 1.86 Δ t

Para avaliar essa expressão vamos fazer  Δ t = 0  Para encontrar a expressão para a velocidade instantânea:

v = 10 - 3.72 t - 0 = 10 - 3.72 t

Para encontrar a velocidade instantânea para t = 1 :

v 1 = 10 - 3.72 1 = 6.28   m / s

Resposta

  2. 6.28 m/s
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