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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 30

Em cada parte, encontre o limite interpretando-o como o limite de uma soma de Riemann, na qual o intervalo [ 0 ,   1 ] está dividido em n subintervalos de mesmo comprimento.

  1. lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 + 3 + … + n n 3 / 2
  2. lim n → ∞ ⁡ 1 4 + 2 4 + 3 4 + … + n 4 n 5
  3. lim n → ∞ ⁡ e 1 / n + e 2 / n + e 3 / n + … + e n / n n

Passo 1

Vamos reescrever todos os limites dados como Soma de Riemann, basicamente são somatórios de todos os subintervalos da função tendendo ao infinito. Aplicaremos na fórmula:

lim n →  ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f ( x k * ) ∆ x

Onde ∆ x = b - a n e nesse caso será ∆ x = 1 n . E x k * será k n .

Passo 2

  1. lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 + 3 + … + n n 3 / 2

    2. Reescrevendo o limite como uma soma de Riemann, temos f x = x , colocando da notação

    adequada:

    lim n →  ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f k n ∆ x

    lim n →  ∞ ⁡ ∑ k = 1 n k n . 1 n

    Reescrevendo a função como uma integral aplicada no intervalo, temos:

    ∫ 0 1 x d x = 2 x 3 2 2 0 1 = 2 3

    Passo 3

  2. lim n → ∞ ⁡ 1 4 + 2 4 + 3 4 + … + n 4 n 5

    3. Reescrevendo o limite como uma soma de Riemann, temos f x = x 4 , colocando da notação adequada:

    lim n →  ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f k n ∆ x

    lim n →  ∞ ⁡ ∑ k = 1 n k 4 n 4 . 1 n

    Reescrevendo a função como uma integral aplicada no intervalo, temos:

    ∫ 0 1 x 4 d x = x 5 5 0 1 = 1 5

    Passo 4

  3. lim n → ∞ ⁡ e 1 / n + e 2 / n + e 3 / n + … + e n / n n

Reescrevendo o limite como uma soma de Riemann, temos f x = e x , colocando da notação adequada:

lim n →  ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f k n ∆ x

lim n →  ∞ ⁡ ∑ k = 1 n e k / n . 1 n

Reescrevendo a função como uma integral aplicada no intervalo, temos:

∫ 0 1 e x d x = e x 0 1 = e 1 - e 0 = e - 1

Resposta

(a) 2 3

(b) 1 5

(c) e - 1

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