Enunciado

Uma tabela de valores de uma função crescente f é dada. Use a tabela para encontrar uma estimativa inferior e superior para ∫ 0 25 f x d x .

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho com você?

Bom, essa questão dá pra gente a seguinte tabela:

E fala que ela possui valores de uma função crescente f é dada.

Teremos que usar essa tabela para encontrar uma estimativa inferior e superior para ∫ 0 25 f x d x .

Para isso usaremos a ideia de soma de Riemann, pra isso a gente vai usar essa forma geral aqui:

∫ a b f x   d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f ( x i * )   Δ x

Onde Δ x é dado por:

Δ x = b - a n  

Como a gente vai pegar os pontos da extremidade de cada intervalo, temos então x i * = x i - 1 , que pode ser calculado por:

x i - 1 = a + i - 1 Δ x

Na prática, pra fazer o exercício, vamos abrir a integral ali de cima e vamos ficar com:

R n = Δ x f x 0 + f x 1 + f x 2 + … + f x n

Passo 2

Vamos começar dando uma olhada nos pontos dessa função:

Olha, a gente pode até não saber como, mas sabemos que esses pontos se ligam! E se notarmos bem, vemos que o passo com o qual eles estão distantes é de 5 unidades! Portanto:

∆ x = 5

E vamos usar isso pra estimar essa integral, beleza? Afinal, uma integral pode ser entendida como a área abaixo da curva! Por estimativa superior, essa integral deve ser algo como a soma da área desses retângulos:

Onde a gente considera “área negativa” pros retângulos abaixo do eixo x . Pra estimativa inferior, a ideia é a mesma, mas os retângulos são esses:

Mesma ideia de “área negativa” aqui também !

Passo 3

Agora é só calcular a área desses retângulos! Em linguagem de Cálculo, isso seria o mesmo que fazer, pra estimativa superior:

R 5 = ∑ i = 1 5 f x i ∆ x = 5 f 5 + f 10 + f 15 + f 20 + f ( 25 )

L 5 = 5 - 37 - 25 - 6 + 15 + 36 = 5 - 17 = - 85

E pra estimativa inferior:

L 5 = ∑ i = 1 5 f x i - 1 ∆ x = 5 f 0 + f 5 + f 10 + f 15 + f 20

L 5 = 5 - 42 - 37 - 25 - 6 + 15 = 5 - 95 = - 475

E tá na mão!

Resposta

Estimativa inferior: - 475

Estimativa superior: - 85

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