Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 2
Se , calcule a soma de Riemann com , tomando como pontos amostrais as extremidades esquerdas. (Dê sua resposta correta até a sexta casa decimal.) O que representa a soma de Riemann? Ilustre com um diagrama.
Passo 1
A soma de Riemann para uma função com subintervalos com aproximação pelos extremos esquerdos, pode ser definida pelo seguinte somatório:
Ela representa a soma das áreas de retângulos que são obtidos a partir da função.
A ideia é basicamente dividir o intervalo em subintervalos igualmente espaçados.
Esses serão as bases dos retângulos.
Para a altura do retângulo, pega-se o valor da função em um ponto dentro do subintervalo .
E aí há três opções. Escolher um valor da função calculado no do extremo esquerdo do subintervalo, do meio do subintervalo ou do extremo direito do subintervalo.
Aqui temos a função
E vamos resolver a soma de Riemann entre com subintervalos.
Vamos utilizer aqui os pontos amostrais como os extremos direitos, bora lá?
Passo 2
Com teremos que a nossa soma é dada pelo somatório
e
é um ponto extremo esquerdo do subintervalo.
Nosso delta vale porque nossa função varia de a , logo:
Passo 3
Resolvendo o somatório teremos:
Os valores de são os extremos esquerdos dos subintervalos de comprimento que variam de até , logo:
Dessa forma teremos no somatório:
Colocando o em evidência, teremos:
Calculando a função nesses pontos e substituindo o valor na expressão temos:
Passo 4
A soma de Riemann representa a soma das áreas dos dois retângulos sobre o eixo menos a soma das áreas dos quatro retângulos abaixo do eixo , isto é a “área líquida” dos retângulos com respeito ao eixo .
O diagrama formado é o seguinte:
Resposta
Soma:
A soma de Riemann representa a soma das áreas dos dois retângulos sobre o eixo menos a soma das áreas dos quatro retângulos abaixo do eixo , isto é a “área líquida” dos retângulos com respeito ao eixo .