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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.5 - Ex. 5c

Para cada ponto crítico, encontre o sistema linear correspondente. Encontre os autovalores e autovetores do sistema linear; classifique cada ponto crítico em relação ao tipo e determine se é assintoticamente estável, estável ou instável.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos das nossas equações. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser montar o Jacobiano do nosso campo vetorial.

J =   - 1 + 5 x - 3 x 2 - 3 y / 10 - 3 x / 10 y - 3 / 2 + x

Para os valores iguais a zero, temos os seguintes valores críticos:

x - 1 + 2,5 x - 0,3 y - x ² = 0

y - 1,5 + x = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir esses valores no Jacobiano e achar os autovalores e autovetores!!

J 0   ,   0 =   - 1 0 0 - 3 / 2     ∴       r 1 = - 3 2   ; r 2 = - 1       → a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

J 3 / 2 ,   5 / 3 =   3 / 4 - 9 / 20 5 / 3 0     ∴           r 1 = - 3 ± i 39 8   → a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

J 1 , 2   ,   0 =   3 / 4 - 3 / 20 0 - 1     ∴       r 1 = 3 4   ;     r =   - 1 →   i n s t á v e l

Resposta

J 0   ,   0 =   - 1 0 0 - 3 / 2     ∴       r 1 = - 3 2   ; r 2 = - 1       → a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

J 3 / 2 ,   5 / 3 =   3 / 4 - 9 / 20 5 / 3 0     ∴           r 1 = - 3 ± i 39 8   → a s s i n t o t i c a m e n t e   e s t á v e l

J 1,2   ,   0 =   3 / 4 - 3 / 20 0 - 1     ∴       r 1 = 3 4   ;     r =   - 1 →   i n s t á v e l

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