Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 10
Em cada um dos problemas de a :
(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.
(b) Encontre, também, a matriz fundamental que satisfaz .
Passo 1
a) Para encontramos a matriz fundamento é necessário determinar os autovetores e autovalores da matriz que estamos trabalhando.
Caso você não tenha muito firme este assunto, recomendo que você visite a seção de álgebra linear do responde ai, vá em autovetores e autovalores e de uma revisada boa.
Determinando os autovalores:
Em que :
Determinando o autovetor:
Temos que:
Para :
Para :
Para :
Após a determinação dos autovalores e autovetores aplicaremos a solução geral para o sistema e assim por final será possível encontrar a matriz fundamental.
Passo 2
Aplicando a formula da solução geral temos:
Em que:
E:
Novamente para a terceira parte:
Logo a solução geral fica:
Como e formam um par fundamental de solução para equação:
Temos que a matriz fundamental pode ser determinada:
Aplicando a solução:
Passo 3
b) Note que a notação para uma matriz fundamental arbitraria o livro estará utilizando e para uma matriz fundamental que satisfaz as condições inicias .
Para determinarmos que satisfaz , aplicaremos a seguinte formula:
Determinando:
Calculando a inversa:
Aplicando a formula temos:
Resposta
a)
b)