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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 7

Em cada um dos problemas de 1 a 10 :

(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.

(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )   =   I .

x ' = 5 - 1 3 1 x

Passo 1

a) Para encontramos a matriz fundamento é necessária determinar os autovetores e autovalores da matriz que estamos trabalhando.

Caso você não tenha muito firme este assunto, recomendo que você visite a seção de álgebra linear do responde ai, vá em autovetores e autovalores e de uma revisada boa.

Caso queiras uma breve e resolução rápida, nas questões pares estarei resolvendo rapidamente os autovalores e autovetores.

Passo 2

Temos os autovalores e autovetores como:

r 1 = 2

ξ 1 = 1 3

r 2 = 4

ξ 2 = 1 1

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Em que:

x ( 1 ) t = 1 3 ∙ e 2 t

x ( 1 ) t = e 2 t 3 e 2 t

E:

x 2 t = 1 1 ∙ e 4 t

x 2 t = e 4 t e 4 t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 e 2 t 3 e 2 t + c 2 e 4 t e 4 t

Como c 1 e c 2 formam um par fundamental de solução para equação:

x ' = P t x

Temos que a matriz fundamental pode ser determinada:

Ψ t = x 1 1 t x 2 2 t x n 1 t x n 2 t

Aplicando a solução:

Ψ t = e 2 t e 4 t 3 e 2 t e 4 t

Passo 3

b) Note que a notação para uma matriz fundamental arbitraria o livro estará utilizando Ψ e para uma matriz fundamental que satisfaz as condições inicias Φ .

Para determinarmos Φ ( t ) que satisfaz Φ 0 = I , aplicaremos a seguinte formula:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Determinando:

Ψ 0 = 1 1 3   1

Calculando a inversa:

Ψ ∙ Ψ - 1 = I

Ψ - 1 0 = - 1 2 1 - 1 - 3 1

Aplicando a formula temos:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Φ t = - 1 2 e 2 t e 4 t 3 e 2 t e 4 t 1 - 1 - 3 1

Φ t = - 1 2 e 2 t - 3 e 4 t - e 2 t + e 4 t 3 e 2 t - 3 e 2 t - 3 e 2 t + e 4 t

Resposta

a) Ψ t = e t e - t e t 3 e - t

b) Φ t = - 1 2 e 2 t - 3 e 4 t - e 2 t + e 4 t 3 e 2 t - 3 e 2 t - 3 e 2 t + e 4 t

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Resolva o problema de valor inicial x ' = - 1 - 4 1 - 1 x , x 0 = 3 1 usando a matriz fundamental Φ ( t ) encontrada no Problema 6.
Resolva o problema de valor inicial x ' = 2 - 1 3 - 2 x , x 0 = 2 - 1 usando a matriz fundamental Φ ( t ) encontrada no Problema 3.
Mostre que Φ t =Ψ t Ψ - 1 ( t 0 ) , em que Φ ( t ) e Ψ ( t ) são como definidas nesta seção.
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 1 - 1 5 - 3 x
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 2 - 5 1 - 2 x