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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 5

Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,g é uma função contínua arbitrária.

y ' ' + y = tan ⁡ t   ,         0 < t < π / 2

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. y ' ' + y = tan ⁡ t

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Onde y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente.

A equação homogênea correspondente é:

y ' ' + y = tan ⁡ t

Pode ser reescrita como:

λ 2 + 1 = 0

Onde:

λ = ± i

Portanto, a solução geral é:

y = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t

Passo 2

Vamos verificar se y 1 t = cos ⁡ t e y 2 t = sen ⁡ t , formam um conjunto fundamental de solução, encontrando seus Wronskianos.

W y 1 , y 2 t = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2

= cos ⁡ t . cos ⁡ t + sin ⁡ t sin ⁡ t = cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t = 1

O que é sempre diferente de zero. Portanto, y 1 t e y 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.

Vamos agora encontrar u 1 e u 2 e g t = tan ⁡ t   . Reescrevendo g t = sen ⁡ t cos ⁡ t :

u 1 t = - ∫ sen ⁡ t sen ⁡ t 1 . cos ⁡ t d t = ∫ - 1 - cos 2 ⁡ t cos ⁡ t d t = - ln ⁡ ( tan ⁡ t + sec ⁡ t ) + sen ⁡ t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ cos ⁡ t sen ⁡ t 1 . cos ⁡ t d t = - cos ⁡ t

Aplicando na equação geral, teremos:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Y t = cos ⁡ t   ( - ln ⁡ ( tan ⁡ t + sec ⁡ t ) + sen ⁡ t ) - sen ⁡ t cos ⁡ t

= - cos ⁡ t ln ⁡ ( tan ⁡ t + sec ⁡ t ) + cos ⁡ t sen ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t

A solução particular da equação será :

Y = - cos ⁡ t ln ⁡ ( tan ⁡ t + sec ⁡ t )

A solução geral considerando a parte homogênea e particular:

y t = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t - cos ⁡ t ln ⁡ ( tan ⁡ t + sec ⁡ t )

Resposta

y t = c 1 cos ⁡ t + c 2 sen ⁡ t - cos ⁡ t ln ⁡ ( tan ⁡ t + sec ⁡ t )

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