Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.4 - Ex. 39
Nos problemas 37-42, resolva a equação diferencial dada, verificando que a função indicada seja um fator de integração
Passo 1
Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:
Temos que
É uma equação exata se a expressão for uma diferencial exata, ou seja, se:
E agora a definição de fator de integração:
Se tivermos uma equação diferencial não exata e multiplicarmos ela por um fator de integração , a equação deve se tornar exata.
Então, nesse problema vamos fazer o seguinte:
- Primeiro vamos multiplicar toda a equação pelo fator de integração
- Com isso, temos que provar que a equação diferencial é exata, mostrando que é um fator de integração
- Depois, resolvemos a equação diferencial exata :)
Vamos lá!
Passo 2
Verificando o fator de integração
Temos a equação , vamos multiplicar todos os termos por , aí a nossa equação se torna:
Agora vamos verificar que a equação
é exata, e aí estará provado que é um fator de integração
Ela já está escrita no formato
Então, temos e
Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá
Passo 3
Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se
Temos:
Derivando em relação a
Agora pro :
Então, temos
Logo, nossa equação é exata, então, o realmente é um fator de integração galerinha
Agora vamos resolver a equação e acabou hehehe
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial
Temos
Com e
Para resolver, vamos supor
Agora vamos integrar em relação a , aí conseguimos encontrar o
Vamos também acrescentar um que vai ser a constante de integração
Passo 5
Temos
Agora vamos derivar em relação a e igualar isso a
Como :
Então:
Integrando em relação a :
Substituindo em :
A solução da equação diferencial exata é , então: