Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 15

Em cada um dos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.

t y ' + 2 y = t 2 - t + 1 ,         y 1 = 1 2 ,       t > 0

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO, a partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

t y ' + 2 y = t 2 - t + 1

y ' + 2 t y = t 2 - t + 1 t

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' + 2 t μ t   y = μ t t 2 - t + 1 t

De modo que

d μ t d t = 2 t μ t   ⟹     d μ t μ t = 2 t d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = 2 t d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ 2 t d t   ⟹   ln ⁡ μ t = ln ⁡ t 2   ⟹   μ t = t 2

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' + 2 t μ t   y = μ t t 2 - t + 1 t   ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t t 2 - t + 1 t   ⟹   d   μ t   y =   μ t t 2 - t + 1 t d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ t 2 y =   ∫ t 2 t 2 - t + 1 t d t =   ∫ t 3 - t 2 + t d t = t 4 4 - t 3 3 + t 2 2 + C

y   =   t 2 4 - t 3 + 1 2 + C t 2

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y 1 = 1 2 = 1 4 4 - 1 3 3 + 1 2 2 + C 1 1 ⟹ C = 1 12  

y ( t )   =   t 2 4 - t 3 + 1 2 + 1 12 t 2

Resposta

y ( t )   =   t 2 4 - t 3 + 1 2 + 1 12 t 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado. t 3 y ' + 4 t 2 y = e - t , y - 1 = 0 ,t0
Em cada um dos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado. y ' + 2 y = t e - 2 t , y 1 = 0
Em cada um dos problemas de 1 e 12:(a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.(b) Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores
Em cada um dos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado. y ' -y = 2 t e 2 t , y 0 = 1