Em cada um dos problemas de 21 a 23

a) Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Como parece que as soluções se comportam quando t assume grandes valores? O comportamento depende da escolha do valor inicial a? Seja a₀ o valor de a no qual ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro. Estime o valor de a₀.

b) Resolva o problema de valor inicial e encontre precisamente o valor critico de a_0

c) Deescreva o comportamento da solução correspondente ao valor inicial a₀

2y' - y = e^(t/3), y(0) = a

Passo 1

a)

Passo 2

b)Vamos resolver pelo método...

2 y ' - y = e t 3

Multiplicamos por μ t  

μ t   y ' - 1 2 μ t   y = μ t e t 3 2

De modo que

d μ t d t = - 1 2 μ t   ⟹     d μ t μ t = - 1 2 d t     ⟹ d ln ⁡ μ t = - 1 2 d t  

Integrando nosso resultado acima( nesse passo, não incluímos a constante de integração ):

∫ d ln ⁡ μ t = ∫ - 1 2 d t   ⟹   ln ⁡ μ t = - 1 2 t   ⟹   μ t = e - 1 2 t

Repare que o lado esquerdo da nossa equação que foi multiplicada por μ t   é o resultado da regra do produto de derivação de 2 funcões

μ t   y ' - 1 2 μ t   y = μ t e t 3 2 ⟹  

⟹ d   μ t   y d t = μ t e t 3 2   ⟹   d   μ t   y = μ t e t 3 2   d t    

Subsituindo os valores encontrados e integrando

⟹ e - 1 2 t y =   ∫ e - 1 2 t e t 3 2 d t =   - 3 e - t 6 + C

y   = - 3 e t 3 + C e t 2

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y 0 = a = - 3 + C ⟹ C = a + 3  

y t = - 3 e t 3 + ( a + 3 ) e t 2

a 0 = - 3

Passo 3

c) y → 0     p a r a   a = a 0

Resposta

y t = - 3 e t 3 + ( a + 3 ) e t 2

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