Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 13

Em cada um dos problemas de 13 a 20, encontre a solução do problema de valor inicial dado.

y ' -   y = 2 t e 2 t ,         y 0 = 1

Passo 1

Discutimos até esse ponto do livro como resolver alguns casos mais simples de EDO. A partir de agora vamos começar a lidar com equações que tem a seguinte cara:

P t y ' + Q t y = G t ,       c o m   P t ≠ 0

O método para resolver tal equação que vamos utilizar é conhecido como método do fator integrante ou, como conhecemos no Responde Aí, método de Equações Lineares.

Dada uma equação no formato acima o que devemos primeiramente fazer é deixar a equação assim ó:

y ' + Q t P t y = G t P t   ⟹ y ' + q t y = g t

Passo 2

Trabalhando em cima do nosso problema, vamos resolver pelo método...

y ' -   y = 2 t e 2 t

Repare que podemos chamar aqui de q t = - 1 e g t = 2 t e 2 t . O fator integrante I então, pode ser encontrado pela integral...

I = e ∫ q t d t

Logo...

I = e ∫ - 1 d t = e - t

Repare que não colocamos a constante de integração depois de calcular aquela integral! Pode até colocar, mas a chance de errar é beeeem maior! Então cuidado, heim?

Agora, chegou a hora de resolver a EDO de uma vez por todas! COMO?

ATRAVÉS da fórmulinha geral para a solução desse tipo de EDO! Veja :

y t = 1 I ∫ I ⋅ g t d t + C

Onde C é a contante de integração!

Então, substituindo tudo...

y t = 1 e - t ∫ e - t 2 t e 2 t d t + C   →

Simplificando...

y t = e t 2 ∫ t e t d t + C   →

Que tal calcularmos essa integral a parte?

Passo 3

∫ t e t d t

Podemos resolver essa integral por integração por partes, onde t será que vai derivar e e t quem vai se integrar...

u = t           e               d v = e t d t

Então...

d u = d t               e                 v = e t

Substituindo-se na fórmula de integração por partes...

∫ u d v = u v - ∫ v d u →

∫ t e t d t = t e t - ∫ e t d t →

∫ t e t d t = t e t - e t

Passo 4

Com isso calculado podemos retornar para a solução...

y t = e t 2 ∫ t e t d t + C   →

E substituir o que acabamos de encontrar...

y t = e t 2 t e t - e t + C   →

y t = e t 2 t e t - 2 e t + C   →

Então...

y t = 2 t e 2 t - 2 e 2 t + C e t

O problema de valor inicial será resolvido, usando a condição dada pelo problema

y 0 = 1 = 2 0 e 0 - 2 e 0 + C e 0 ⟹

1 = - 2 + C   →

C = 3  

A solução é então...

y ( t )   = 2 t e 2 t - 2 e 2 t + 3 e t

Resposta

y ( t )   = 2 t e 2 t - 2 e 2 t + 3 e t

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