Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.1 - Ex. 16
Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais.
Passo 1
A equação característica, se tivermos uma EDO do tipo:
O objetivo é encontrar os autovalores e autofunções do problema de valor limite dado, temos o seguinte autovalor:
Nesse caso .
Com as condições de contorno e.
Entretanto, nós desconhecemos e não sabemos se o valor é maior ou menor que zero.
Passo 2
Vamos analisar o primeiro cenário, quando consideramos que . Então, nesse caso , então a equação passa a ser:
Corresponde a eiqação característica :
Nesse caso, as raízes da equação serão:
E a solução geral será :
Aplicando a primeira condição:
Como não temos , .
Se:
Aqui, nós temos e , também! Logo, .
Se:
Quando usamos as condições de contorno, obtemos:
Portanto, a solução geral é e, portanto, vemos que existem autovalores menores que zero.
Passo 3
O próximo passo, nós consideramos que , e a solução geral será:
Aplicando na primeira condição :
Então:
Dessa forma será um autovalor de
Passo 4
Vamos analisar o primeiro cenário, quando consideramos que . Então, nesse caso , então a equação passa a ser:
Corresponde a equação característica.
E a solução geral será :
Quando usamos a primeira condição dada , nós temos:
Agora, aplicamos a segunda condição .
A derivada da equação será:
A função seno zera () para qualquer valor e .
Então, nossa função será:
Para qualquer valor e qualquer .
Logo: